非线性规划（一）：定义与数值优化方法(梯度法、牛顿法、拟牛顿法、变尺度法)

非线性规划（二）: Matlab 求解约束极值问题

约束极值问题

1 二次规划 2 罚函数法

3 Matlab 求约束极值问题

3.1 fminbnd 函数 3.2 fseminf 函数 3.3 fminimax 函数

4 Matlab 优化工具箱的用户图形界面解法

4 非线性规划的应用：飞行管理问题

4.1 模型一 4.2 模型二习题

约束极值问题

带有约束条件的极值问题称为约束极值问题，也叫规划问题。求解约束极值问题要比求解无约束极值问题困难得多。为了简化其优化工作，可采用以下方法：将约束问题化为无约束问题；将非线性规划问题化为线性规划问题，以及能将复杂问题变换为较简单问题的其它方法。库恩—塔克条件是非线性规划领域中重要的理论成果之一，是确定某点为优点的必要条件，但一般说它并不是充分条件（对于凸规划，它既是优点存在的必要条件，同时也是充分条件）。

无约束问题的求解请参考这里：非线性规划（一）：定义与数值优化方法

1 二次规划

若某非线性规划的目标函数为自变量 x的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划。

Matlab 中求解二次规划的命令是

[X,FVAL]= QUADPROG(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)

返回值 X 是决策向量 x的值，返回值 FVAL 是目标函数在 x处的值。（具体细节可以参看在 Matlab 指令中运行 help quadprog 后的帮助）。

h=[4,-4;-4,8];
f=[-6;-3];
a=[1,1;4,1];
b=[3;9];
[x,value]=quadprog(h,f,a,b,[],[],zeros(2,1))

2 罚函数法

利用罚函数法，可将非线性规划问题的求解，转化为求解一系列无约束极值问题，因而也称这种方法为序列无约束小化技术，简记为 SUMT (Sequential Unconstrained Minization Technique)。罚函数法求解非线性规划问题的思想是，利用问题中的约束函数作出适当的罚函数，由此构造出带参数的增广目标函数，把问题转化为无约束非线性规划问题。主要有两种形式，一种叫外罚函数法，另一种叫内罚函数法，下面介绍外罚函数法。

解 (i)编写 M 文件 test.m

function g=test(x);
M=50000;
f=x(1)^2+x(2)^2+8;
g=f-M*min(x(1),0)-M*min(x(2),0)-M*min(x(1)^2-x(2),0)+... M*abs(-x(1)-x(2)^2+2);

或者是利用Matlab的求矩阵的极小值和极大值函数编写test.m如下：

function g=test(x);
M=50000;
f=x(1)^2+x(2)^2+8;
g=f-M*sum(min([x';zeros(1,2)]))-M*min(x(1)^2-x(2),0)+...   M*abs(-x(1)-x(2)^2+2);

我们也可以修改罚函数的定义，编写test.m如下：

function g=test(x);
M=50000;
f=x(1)^2+x(2)^2+8;
g=f-M*min(min(x),0)-M*min(x(1)^2-x(2),0)+M*(-x(1)-x(2)^2+2)^2;

(ii)在 Matlab 命令窗口输入

[x,y]=fminunc('test',rand(2,1))

即可求得问题的解。

3 Matlab 求约束极值问题

在 Matlab 优化工具箱中，用于求解约束优化问题的函数有：fminbnd、fmincon、 quadprog、fseminf、fminimax，上面我们已经介绍了函数 fmincon 和 quadprog。

3.1 fminbnd 函数

求单变量非线性函数在区间上的极小值

Matlab 的命令为

[X,FVAL] = FMINBND(FUN,x1,x2,OPTIONS)

它的返回值是极小点x 和函数的极小值。这里 fun 是用 M 文件定义的函数或 Matlab 中的单变量数学函数。

3.2 fseminf 函数

上述问题的 Matlab 命令格式为

X=FSEMINF(FUN,X0,NTHETA,SEMINFCON,A,B,Aeq,Beq)

解（1）编写 M 文件 fun6.m 定义目标函数如下：

function f=fun6(x,s);
f=sum((x-0.5).^2);

（2）编写 M 文件 fun7.m 定义约束条件如下：

function [c,ceq,k1,k2,s]=fun7(x,s);
c=[];ceq=[];
if isnan(s(1,1))     s=[0.2,0;0.2 0];
end
%取样值
w1=1:s(1,1):100;
w2=1:s(2,1):100;
%半无穷约束
k1=sin(w1*x(1)).*cos(w1*x(2))-1/1000*(w1-50).^2-sin(w1*x(3))-x(3)-1; k2=sin(w2*x(2)).*cos(w2*x(1))-1/1000*(w2-50).^2-sin(w2*x(3))-x(3)-1;
%画出半无穷约束的图形
plot(w1,k1,'-',w2,k2,'+');

（3）调用函数 fseminf 在 Matlab 的命令窗口输入

[x,y]=fseminf(@fun6,rand(3,1),2,@fun7)

即可求得结果。

3.3 fminimax 函数

上述问题的 Matlab 命令为

 X=FMINIMAX(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON)

解（1）编写 M 文件 fun8.m 定义向量函数如下：

function f=fun8(x);
f=[2*x(1)^2+x(2)^2-48*x(1)-40*x(2)+304     -x(1)^2-3*x(2)^2     x(1)+3*x(2)-18     -x(1)-x(2)     x(1)+x(2)-8];

（2）调用函数 fminimax

[x,y]=fminimax(@fun8,rand(2,1))

3.3.4 利用梯度求解约束优化问题

分析：当使用梯度求解上述问题时，效率更高并且结果更准确。题目中目标函数的梯度为：

解（1）编写 M 文件 fun9.m 定义目标函数及梯度函数：

function [f,df]=fun9(x);
f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
df=[exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+8*x(1)+6*x(2)+1);exp(x(1))*(4*x(2) +4*x(1)+2)];

（2）编写 M 文件 fun10.m 定义约束条件及约束条件的梯度函数：

function [c,ceq,dc,dceq]=fun10(x);
c=[x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1.5;-x(1)*x(2)-10];
dc=[x(2)-1,-x(2);x(1)-1,-x(1)]; ceq=[];dceq=[];

（3）调用函数 fmincon，编写主函数文件 example13.m 如下：

%采用标准算法
options=optimset('largescale','off');
%采用梯度
options=optimset(options,'GradObj','on','GradConstr','on');
[x,y]=fmincon(@fun9,rand(2,1),[],[],[],[],[],[],@fun10,options)

4 Matlab 优化工具箱的用户图形界面解法

Matlab 优化工具箱中的 optimtool 命令提供了优化问题的用户图形界面解法。 optimtool 可应用到所有优化问题的求解，计算结果可以输出到 Matlab 工作空间中。

例 14 用 optimtool 重新求解例 2。

解（i）编写 M 文件 fun1.m 定义目标函数

function f=fun1(x);
f=sum(x.^2)+8;

（ii）编写M文件fun2.m定义非线性约束条件

function [g,h]=fun2(x);
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];  %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2 x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束

利用例 2 已经定义好的函数 fun1 和 fun2。在 Matlab 命令窗口运行 optimtool，就打开图形界面，如图 1 所示，填入有关的参数，未填入的参数取值为空或者为默认值，然后用鼠标点一下“start”按钮，就得到求解结果，再使用“file”菜单下的“Export to Workspace…”选项，把计算结果输出到 Matlab 工作空间中去。

4 非线性规划的应用：飞行管理问题

在约 10，000m 高空的某边长 160km 的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：

1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8km;

2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度；

3）所有飞机飞行速度均为每小时 800km;

4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在 60km 以上；

5）多需考虑 6 架飞机；

6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。

请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过 0.01 度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。

设该区域 4 个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据见表 1。

4.1 模型一

本问题中的优化目标函数可以有不同的形式：如使所有飞机的大调整量小；所有飞机的调整量绝对值之和小等。这里以所有飞机的调整量绝对值之和小为目标函数，可以得到如下的数学规划模型：

利用如下的程序：

clc,clear
x0=[150 85 150 145 130 0];
y0=[140 85 155 50 150 0];
q=[243 236 220.5 159 230 52];
xy0=[x0; y0];
d0=dist(xy0);   %求矩阵各个列向量之间的距离
d0(find(d0==0))=inf;
a0=asind(8./d0)  %以度为单位的反函数
xy1=x0+i*y0 xy2=exp(i*q*pi/180)
for m=1:6      for n=1:6          if n~=m          b0(m,n)=angle((xy2(n)-xy2(m))/(xy1(m)-xy1(n)));           end end
end
b0=b0*180/pi;
dlmwrite('txt1.txt',a0,'delimiter', '\t','newline','PC');
fid=fopen('txt1.txt','a');
fwrite(fid,'~','char');       %往纯文本文件中写 LINGO 数据的分割符 dlmwrite('txt1.txt',b0,'delimiter', '\t','newline','PC','-append','roffset', 1)

上述飞行管理的数学规划模型可如下输入 LINGO 求解：

model:
sets:
plane/1..6/:delta;
link(plane,plane):alpha,beta;
endsets
data:
alpha=@file('txt1.txt');   !需要在alpha的数据后面加上分隔符"~";
beta=@file('txt1.txt');
enddata
min=@sum(plane:@abs(delta));
@for(plane:@bnd(-30,delta,30)); @for(link(i,j)|i#ne#j:@abs(beta(i,j)+0.5*delta(i)+0.5*delta(j))>a
lpha(i,j));
end

4.2 模型二

计算到这里也没有展开的必要了。由于目标的约束是< 0和 <= 的不等式约束。用罚函数的方式编写和求解，有思路的人请留言到评论区讨论吧

习题

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