文章目录

一、离散傅里叶变换（DFT）--有限长序列的离散频域表示
- 1、主值区间、主值序列
- 2、DFT的定义
- - 2.1、正变换：
  - 2.2、反变换：
- 3、DFT用矩阵表示
- 4、DFT与DFS的关系
- 5、DFT与DTFT、Z变换的关系 -- 频域抽样
- 6、离散傅里叶变换对x(n)与X(k)中各参量间的关系
- 7、DFT 隐含的周期性
二、DFT的主要性质
- 1、线性
- 2、圆周移位性质
- - 2.1、圆周移位序列
  - 2.2、圆周移位性质
- 2、圆周共轭对称性质
- - 2.1、圆周对称中心

一、离散傅里叶变换（DFT）–有限长序列的离散频域表示

离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理中非常有用的一种变换，因为它是频域也离散化的一种傅里叶变换。也就是说，时域和频域都离散化了，这样使计算机对信号的时域、频域都能进行计算；另外DFT作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要；最后由于DFT有多种快速算法。使得信号处理速度有非常大的提高。

离散傅里叶变换（DFT）是离散傅里叶级数（DFS）引申出来的，\color{red}{离散傅里叶变换（DFT）是离散傅里叶级数（DFS）引申出来的， }离散傅里叶变换（DFT）是离散傅里叶级数（DFS）引申出来的，这二者的时域、频域都是离散的，因而它们的时域、频域又必然是周期的。但是 DFT 是针对有限长序列的，实际上，它是取周期序列的 DFS 的一个周期的对应关系来加以定义和研究的，因而它隐含有周期性的。

1、主值区间、主值序列

设 x(n) 为有限长序列，只在 0≤n≤N-1 处有值，可以把它看成是以 N 为周期的周期性序列的第一个周期（0≤n≤N-1），这第一个周期［0，N-1］就称为主值区间，主值区间的序列 x(n) 就称为主值序列，则有：

2、DFT的定义

设 x(n) 为M点有限长序列，即在 0≤n≤M-1 内有值，则可定义 x(n) 的 N 点（N≥M。当N＞M时，补N-M个零值点）离散傅里叶变换定义为：

2.1、正变换：

2.2、反变换：

3、DFT用矩阵表示

IDFT也可用矩阵表示：

4、DFT与DFS的关系

5、DFT与DTFT、Z变换的关系 – 频域抽样

6、离散傅里叶变换对x(n)与X(k)中各参量间的关系

（1）时域相邻两抽样点的时间间距等于抽样频率的倒数。
（2）频域相邻两抽样点的频率间距等于时域序列的时间长度的倒数。
（3）频域相邻两抽样点的频率间距也等于抽样频率与抽样点数 N 之比值。

7、DFT 隐含的周期性

二、DFT的主要性质

1、线性

2、圆周移位性质

2.1、圆周移位序列

一个有限长序列 x(n)x(n)x(n) 的圆周位移是指用它的点数 N 为周期，将其延拓成周期序列 x~(n)\tilde x(n)x~(n)，将周期序列 x~(n)\tilde x(n)x~(n) 加以位移，然后取主值区间（n 为 0~（N - 1））上的序列值。因此一个有限长序列 x(n)x(n)x(n) 的m点圆周移位定义为：

上式中 x((n+m))Nx{((n + m))_N}x((n+m))N 表示 x(n) 的周期延拓序列 x~(n)\tilde x(n)x~(n) 的 m 点线性移位

x((n+m))N=x~(n+m)x{((n + m))_N}{\rm{ = }}\tilde x(n + m)x((n+m))N=x~(n+m)

在作DFT运算时，N点有限长序列的m点移位，可以看成将x(n)以N为周期，延拓成周期序列，

将 x((n))N作m点线性移位后,再取主值区间中的序列，即得到x(n)的m点圆周移位序列 xm(n) 。

2.2、圆周移位性质

序列的圆周移位过程：

上图中N=6。

调制特性 ~ 离散时域的调制（相乘）等效于离散频域的圆周移位。

2、圆周共轭对称性质

2.1、圆周对称中心

（未完待续！）

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