每日算法系列【LeetCode 319】灯泡开关
题目描述
初始时有 个灯泡关闭。 第 轮,你打开所有的灯泡。 第 轮,每两个灯泡你关闭一次。 第 轮,每三个灯泡切换一次开关(如果关闭则开启,如果开启则关闭)。第 轮,每 个灯泡切换一次开关。 对于第 轮,你只切换最后一个灯泡的开关。 找出 轮后有多少个亮着的灯泡。
示例1
输入:
3
输出:
1
解释:
初始时, 灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭].
第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启].
第二轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 开启].
第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭]. 你应该返回 1,因为只有一个灯泡还亮着。
题解
首先有 个灯泡,假设编号为 到 。第 轮,所有编号是 的倍数的灯泡被开关了一次。第 轮,所有编号是 的倍数的灯泡被开关了一次。类推下去,第 轮,所有编号是 的倍数的灯泡被开关了一次。
综上,对于编号为 的灯泡来说,它最终被开关的次数取决于 有几个因数。如果有奇数个因数,那么它最后就是开着的,否则就是关着的。
那么我们有一个定理:如果一个正整数有奇数个因数,那么它一定是完全平方数。
最浅显的证明就是,一个数 的因数按照从小到大排个序,首尾两两一对之积一定等于 。而如果因数只有奇数个,最中间一个因数 只会出现一次,那么 。
严格证明也不难,首先将 质因数分解为:
那么 的因数个数就是:
因为 的因数个数是奇数,所以任意 必定是奇数,即任意 必定是偶数。
那么 就可以写作:
这就证明了 一定是一个完全平方数。
所以问题就转化为了求 到 之间有多少个完全平方数。答案就是 。
在具体实现的时候,为了防止出现浮点数误差(比如 算出来是 ,取整得到 ),我们可以计算 的结果。
代码
c++
class Solution {public:int bulbSwitch(int n) {return sqrt(n+0.5);}
};
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