介绍KMP算法思想（例题：ACWING 831 kmp字符串）

题目描述

给定一个模式串S，以及一个模板串P，所有字符串中只包含大小写英文字母以及阿拉伯数字。

模板串P在模式串S中多次作为子串出现。

求出模板串P在模式串S中所有出现的位置的起始下标。

输入格式

第一行输入整数N，表示字符串P的长度。

第二行输入字符串P。

第三行输入整数M，表示字符串S的长度。

第四行输入字符串M。

输出格式

共一行，输出所有出现位置的起始下标（下标从0开始计数），整数之间用空格隔开。

数据范围

1≤N≤10^4
1≤M≤10^5

输入样例：

3
aba
5
ababa
输出样例：

0 2

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 1000010;
int n, m, i, j, ne[N];
char p[N], s[M];
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1;for(i = 2, j = 0; i <= n; i++){while(j && p[i] != p[j + 1])j = ne[j];if(p[i] == p[j + 1])j++;ne[i] = j;}for(i = 1, j = 0; i <= m; i++){while(j && s[i] != p[j + 1])j = ne[j];if(s[i] == p[j + 1])j++;if(j == n){cout << i - n << ' ';j = ne[j];}}return 0;
}

思想和理解

时间复杂度：
kmp算法的本质就是优化，让效率更高，暴力也可以做出这题，但是太慢了，时间复杂度会达到O（n*m），使用了kmp算法后，我们就可以把时间复杂度优化到O（n+m）。
定义：
模式串S：可以简单理解为较长的那个串，设长度为m
模板串P：可以简单理解为较短的那个串，设长度为n
next数组
kmp算法优化的关键，就是next数组。这个数组可以让我们在模板串对模式串匹配失败时，可以不用从头遍历模板串，而是对模板串进行“回跳”。
对于next数组的理解（这里为了避免和头文件里其他给定的结构冲突，用ne表示）

ne[i]=j;

这一行代码的意思是：从下标i-j+1到i的序列，等于从1到j的序列（设序列从1开始）。我们也可以理解为，i为序列后缀的最后一个元素下标，j为序列前缀的最后一个元素下标，该前缀和后缀相等。
我们来画个图直观理解一下：

这样，如果我们的P和S匹配失败的话，就可以用ne数组的操作来“回跳”，而不用从头遍历P了。

字符串匹配过程

kmp算法的核心操作有两个：预处理next的数组，字符串匹配。在代码实现方面，预处理next数组和字符串匹配基本相同，所以我们先讲解字符串匹配的代码，然后复制粘贴，再稍作修改，我们就可以得到next数组预处理的代码了。

for(i = 1, j = 0; i <= m; i++){while(j && s[i] != p[j + 1])j = ne[j];if(s[i] == p[j + 1])j++;if(j == n){cout << i - n << ' ';j = ne[j];}}

首先解释为什么要s[i]和p[j+1]匹配。因为如果我们检测到s[i]和p[j+1]不匹配的话，那就证明p[j]和s[i]是匹配的，这样我们让j=ne[j]才有意义，否则如果检测出s[i]和p[j]不匹配，然后再让j-1=ne[j-1]就会很麻烦，代码阅读性不如j+1这个方案好。（我个人理解）
让i从1开始也是同样的道理，可以简化编程和阅读的难度。

预处理next数组过程

代码：

    for(i = 2, j = 0; i <= n; i++){while(j && p[i] != p[j + 1])j = ne[j];if(p[i] == p[j + 1])j++;ne[i] = j;}

重点理解一下ne[i]=j
画图如下：

当j++后，此时的p[i]是等于p[j]的，也就是相当于，从1到j的序列等同于从i-j+1到i的序列，这时我们就可以把ne[i]的值赋值为j。