问题三十一：ray tracing中Convex Quadrilateral Inverse Mapping

从这一章节开始，主要是学习《An Introduction to Ray Tracing》

光线和多边形相交问题的求解：

1，光线和多边形所在的平面相交，求出交点；

2，判断交点是否在多边形内；

3，交点在多边形的什么位置（相对于多边形的边）。

前面两步分别在“2.3.1 Ray/Plane Intersection”和“2.3.2 PolygonIntersection”已经介绍。本节2.3.2就是以凸四边形为例阐述第三步——确定交点在多边形的什么位置。

引入uv斜角坐标系：u、v的范围是[0,1]

uv坐标系和多边形对应如下：

P(u,v)=Pa*uv+Pb*u+Pc*v+Pd “式子一”

其中

Pa = P00-P01+P11-P10

Pb = P10-P00

Pc = P01-P00

Pd = P00

我们已知的信息有：

多边形的四个顶点的三维坐标：P00、P01、P10、P11

多边形的法向量：Pn

光线和多边形的交点的三维坐标：Pi

我们要求的是：交点Pi在多边形中的相对位置（u,v）

先求u:

过图中蓝线作一个垂直于多边形所在平面的平面（u垂平面）。u垂平面的方程如下：

n_u(u)q+d_u(u)=0 “式子二”

其中，

n_u(u)为u垂平面的法向量；

q 为u垂平面上任一点的三维坐标；

d_u(u)为原点到u垂平面的距离；

所以：

n_u(u) = (p_u(1)- p_u(0))X Pn （即：u垂平面的法向量=多边形的法向量和交线向量的叉乘）

p_u(1)、p_u(0)代入“式子一”（P(u,v)=Pa*uv+Pb*u+Pc*v+Pd）

n_u(u) = ((Pa*u+Pb*u+Pc +Pd)–(Pb*u+ Pd)) X Pn

=(Pa*u+Pc) X Pn

=(Pa X Pn)*u +(Pc X Pn)

=Na*u+Nc “式子三”

其中，

Na = Pa X Pn

Nc = Pc X Pn

又因为点p_u(0)在u垂平面上，将p_u(0)代入“式子二”得到

d_u(u) = -n_u(u) * p_u(0) （p_u(0)来自“式子一”，n_u(u)来自“式子三”）

=- (Na*u+Nc) * (Pb*u+ Pd)

=-(Na*Pb)*u² – (Na*Pd+Nc*Pb)*u - Nc*Pd

=-D_u2*u² – D_u1*u – D_u0 “式子四”

其中，

D_u0 = Nc*Pd

D_u1 = Na*Pd+Nc*Pb

D_u2 = Na*Pb

将“式子四”和“式子三”代入“式子二”得到：

(Na*u+Nc)*q + (-D_u2*u²– D_u1*u – D_u0) = 0

D_u2*u²+ (D_u1 - Na*q) *u +(D_u0 –Nc*q) = 0 “式子五”

交点Pi在u垂平面上，将交点Pi代入“式子五”，得到：

D_u2*u²+ (D_u1 - Na*Pi) *u +(D_u0 –Nc*Pi) = 0

A*u² +B *u +C = 0 “式子六”

其中，

A = D_u2

B = D_u1 -Na*Pi

C = D_u0 –Nc*Pi

再求v:

过图中绿线作一个垂直于多边形所在平面的平面（v垂平面）。v垂平面的方程如下：

n_v(v)q+d_v(v)=0 “式子七”

其中，

n_v(v)为v垂平面的法向量；

q 为v垂平面上任一点的三维坐标；

d_v(v)为原点到v垂平面的距离；

所以：

n_v(v) = (p_v(1)- p_v(0))X Pn （即：v垂平面的法向量=多边形的法向量和交线向量的叉乘）

p_v(1)、p_v(0)代入“式子一”（P(u,v)=Pa*uv+Pb*u+Pc*v+Pd）

n_v(v) = ((Pa*v+Pb +Pc*v +Pd) –(Pc*v+Pd)) X Pn

=(Pa*v+Pb) X Pn

=(Pa X Pn)*v +(Pb X Pn)

=Na*v+Nb “式子八”

其中，

Na = Pa X Pn

Nb = Pb X Pn

又因为点p_v(0)在v垂平面上，将p_v(0)代入“式子七”得到

d_v(v) = - n_v(v) * p_v(0) （p_v(0)来自“式子一”，n_v(v)来自“式子八”）

=- (Na*v+Nb) * (Pc*v+ Pd)

=-(Na*Pc)*v² – (Na*Pd+Nb*Pc)*v - Nb*Pd

=-D_v2*v² – D_v1*v – D_v0 “式子九”

其中，

D_v0 = Nb*Pd

D_v1 = Na*Pd+Nb*Pc

D_v2 = Na*Pc

将“式子九”和“式子八”代入“式子七”得到：

(Na*v+Nb)*q + (-D_v2*v²– D_v1*v – D_v0) = 0

D_v2*v²+ (D_v1 - Na*q) *v +(D_v0 –Nb*q) = 0 “式子十”

交点Pi在v垂平面上，将交点Pi代入“式子十”，得到：

D_v2*v²+ (D_v1 - Na*Pi) *v +(D_v0 –Nb*Pi) = 0

A*v² +B *v +C = 0 “式子十一”

其中，

A = D_v2

B = D_v1 -Na*Pi

C = D_v0 –Nb*Pi

注意：我们当前这种求u、v的方法的前提是凸四边形……前提是凸四边形……前提是凸四边形……

先把出观点：如果不是凸四边形，即使只有一个在[0,1]的实根，也不能保证交点在四边形内的。

接下来，用图示讨论一下根的情况：

对于凸四边形：

如果交点在该图阴影部分，u则会有两个实根，其一在[0,1]，其二在[-1,-3/4]。我们在求得u的两个实根时，则会取其在[0,1]的根。

如果交点在该图四边形的非阴影部分，u则会有两个实根，其一在[0,1]，其二小于-1。

求得[0,1]的u（绿线）之后，再求v。

如果v（红线）也在只有一个实根在[0,1]，则红线和绿线的交点一定在凸四边形内。

对于凹四边形：

红点：u=1/4和u=1/2的交点，即此处存在两个[0,1]范围内的实根，且交点在凹四边形内。

蓝点：u=1/2和u=3/4的交点，即此处存在两个[0,1]范围内的实根，且交点在凹四边形外。

绿点：u=-1/4和u=3/4的交点，即此处只存在一个[0,1]范围内的实根，同时(1/2,3/4)范围内的某个v（红线）会经过绿点，也就是说，绿点处，u、v都在[0,1]范围内只有一个实根。但是绿点是在凹四边形外的。所以，如果是凹四边形，u、v都在[0,1]范围内只有一个实根，并不能确定交点在四边形内。

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