洛谷 2220 [HAOI2012]容易题题解（组合数学，离散化）

原链接：
洛谷：点我QωQ
bzoj：点我QωQ

题意简述

一个长度为mmm的数列aaa，每个数都在[1,n][1,n][1,n]之间，有kkk个限制。第iii个限制包含两个正整数x,yx,yx,y，表示axa_xax不能取yyy。求所有满足条件的aaa数列的所有元素之积之和。

数据

输入

第一行三个正整数，n,m,kn,m,kn,m,k(n,m<=109,k<=105)(n,m<=10^9,k<=10^5)(n,m<=109,k<=105)
接下来kkk行，每行两个正整数x,yx,yx,y。1<=x<=m,1<=y<=n1<=x<=m,1<=y<=n1<=x<=m,1<=y<=n

输出

所有满足条件的aaa数列的所有元素之积之和。

样例

输入
3 4 5
1 1
1 1
2 2
2 3
4 3
输出
90

解释

有一下几种：

数列	积
2 1 1 1	2
2 1 1 2	4
2 1 2 1	4
2 1 2 2	8
2 1 3 1	6
2 1 3 2	12
3 1 1 1	3
3 1 1 2	6
3 1 2 1	6
3 1 2 2	12
3 1 3 1	9
3 1 3 2	18

很明显，表中"积"一项的和为2+4+4+8+6+12+3+6+6+12+9+18=902+4+4+8+6+12+3+6+6+12+9+18=902+4+4+8+6+12+3+6+6+12+9+18=90

思路

题目名称叫"容易题"，但是我非常想叫它"毒瘤题"，我艹太tm^{tm}tm毒瘤了。。。

虽然样例解释给出的是暴力形式，但是显然我们是不珂以暴力做的。
我们想想（拿n=4,m=4n=4,m=4n=4,m=4举例），如果没有任何限制，那么积的和是多少呢？

显然，每个位置都珂以取1,2⋯n1,2\cdots n1,2⋯n，合法的数列有
{1,2,3,1}\{1,2,3,1\}{1,2,3,1},{1,2,3,2}\{1,2,3,2\}{1,2,3,2},{1,2,3,3}\{1,2,3,3\}{1,2,3,3},{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}{1,2,3,4},⋯\cdots⋯
这是前四项。如果我们计算它们积的和，我们会发现珂以提一个公因式1×2×31\times 2\times 31×2×3出来，然后最后一项是(1+2+3+4)(1+2+3+4)(1+2+3+4)，即这四个数列积的和为(1×2×3)×(1+2+3+4)(1\times 2\times 3)\times (1+2+3+4)(1×2×3)×(1+2+3+4).当然，我们珂以想象一下，如果我们把所有项都因式分解，应该长这样：
=(1+2+3+4)×(1+2+3+4)×(1+2+3+4)×(1+2+3+4)=(1+2+3+4)m=(n(n+1)2)m=(1+2+3+4)\times (1+2+3+4)\times (1+2+3+4) \times(1+2+3+4)=(1+2+3+4)^m=(\frac{n(n+1)}{2})^m=(1+2+3+4)×(1+2+3+4)×(1+2+3+4)×(1+2+3+4)=(1+2+3+4)m=(2n(n+1))m。

此时，我们考虑限制，按样例，第一个不能取111。此时我们发现，分解完的结果长成这样：
(2+3+4)×(1+2+3+4)3(2+3+4)\times(1+2+3+4)^3(2+3+4)×(1+2+3+4)3
就是第一个括号里少加了一个111。也就是说，对于一个限制(x,y)(x,y)(x,y)，即第xxx个位置不能取yyy，对答案的影响就是第xxx个括号里减去一个yyy。（从样例中发现，有些限制会重复出现，这很好办，排序一下，然后whilewhilewhile循环替代++i++i++i即可）我们用cnt[i]cnt[i]cnt[i]表示第iii个括号里的值，每次减一下，到最后乘起来就是答案了。

当你开开心心的写完这个代码的时候，你会发现：wdnmd,m<=109wdnmd,m<=10^9wdnmd,m<=109！！！F∗∗KF**KF∗∗K！
所以我们需要优化。发现kkk并不大，只有10510^5105，所以只有这kkk个做过改动的对答案有影响，其它的就直接快速幂上去即可。由于我们刚刚在去重的时候就已经排过序了，所以代码也就没有什么变动，具体看注释。代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{#define int long long#define mod 1000000007#define K 100100int n,m,k;struct node//保存一个约束{int pos,val;//位置,不能等于的值}a[K];bool operator<(node x,node y){return x.pos<y.pos or (x.pos==y.pos and x.val<y.val);}//排序:位置第一优先,不能等于的值第二优先void Input(){scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);for(int i=1;i<=k;++i){scanf("%lld%lld",&a[i].pos,&a[i].val);}sort(a+1,a+k+1);//记得排序}int cnt[K];//每个括号里的值//这里只记录被改动过的括号，别的括号里的值用快速幂乘上去int qpow(int a,int b,int m)//快速幂{int r=1;while(b){if (b&1) r=r*a%m;a=a*a%m,b>>=1;}return r;}int Next(int pos)//去重用的,用一个while循环找到第一个不相同的约束条件//样例里就有一个相同的...真tm毒瘤..{++pos;if (a[pos].pos!=a[pos-1].pos) return pos;while(a[pos].val==a[pos-1].val) ++pos;return pos;}void Solve(){int sum=n*(n+1)/2;sum%=mod;//没有被改动过的括号的值for(int i=1;i<=k;++i){cnt[i]=sum;}//初始都是=sum的int pos=0;//由于有一些不同的约束条件描述的是一个相同的位置(不能等于的值不同),//所以剩下的括号并不是n-k个,而是用这个pos存一下不同的个数for(int i=1;i<=k;i=Next(i)){if (a[i].pos!=a[i-1].pos){++pos;//如果描述的位置不同,就++}cnt[pos]=(cnt[pos]-a[i].val+mod)%mod;//对答案产生影响，所以要修改括号中的值//不能直接模,要+mod再模}int rest=m-pos;//剩下m-pos个括号里都是sumint ans=qpow(sum,rest,mod);//用快速幂乘上去for(int i=1;i<=pos;++i){ans*=cnt[i];ans%=mod;}//这一步上面解释过了printf("%lld\n",ans);}void Main(){if (0){freopen("","r",stdin);freopen("","w",stdout);}Input();Solve();}#undef int //long long#undef mod //1000000007
};
main()
{Flandle_Scarlet::Main();return 0;
}

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