Linear approximation笔记

函数f的二阶导数f''有什么用？

在一个很短的间隔内，二阶导数可以非常好地利用二次多项式（quadratic polynomial）去近似一个函数。

那接下来我们的目的就是找出这个二次多项式。

利用单调性，f'' > 0，f'递增，可以预测f也是递增。那么我们的目的就是用f''去预测f是怎么样的。

假设f''在区间[a, b]能满足如下不等式：

$m \leq {f}''(x) \leq M \quad x \in [a, b]$ (1)

根据上面不等式，有M - f''(x) ≥ 0，这个不等式可以看作是函数g(x) = Mx - f'(x)的导数。

由于M - f''(x) ≥ 0，所以g(x)在区间[a, b]中单调递增，所以g(a) ≤ g(x) 即满足下面不等式：

$Ma - f'(a) \leq Mx - {f}'(x) \quad x\in [a, b]$ (2)

移项得到：

${f}'(x) - f'(a) \leq M(x - a) \quad x\in [a, b]$ （3）

上式左边是f(x) - f'(a)x的导数，右边是1/2 M(x - a)²的导数，那么可以得出下面函数：

$\frac{1}{2}M (x - a)^2 - (f(x) - {f}'(a)x) \quad x\in [a, b]$

由于该函数的导数满足(3)，所以函数在[a, b]区间单调递增，那么可以推导出下面的式子：

$\frac{1}{2}M (a - a)^2 - (f(a) - {f}'(a)a) \leq \frac{1}{2}M (x - a)^2 - (f(x) - {f}'(a)x)$

f(x)移到左边，其他移到右边得到：

$f(x) \leq f(a) + {f}'(a)(x -a) + \frac{M}{2}(x-a)^2$

由于m ≤ f''(x)，根据单调性同理推导出：

$f(a) + {f}'(a)(x -a) + \frac{m}{2}(x-a)^2 \leq f(x)$

那么总结出最后的不等式：

$f(a) + {f}'(a)(x -a) + \frac{m}{2}(x-a)^2 \leq f(x) \leq f(a) + {f}'(a)(x -a) + \frac{M}{2}(x-a)^2$ （4）

那么必须有一个H在m和M之间，即m ≤ H ≤ M，使得：

$f(x) = f(a) + {f}'(a)(x -a) + \frac{H}{2}(x-a)^2 \quad x\in [a, b]$ (5)

把f''(x)看成一个函数，由于m ≤ f''(x) ≤ M在[a, b]区间，根据介值定理，必定存在一个点x = c满足f''(c) = H。

把x = b，f''(c) = H代入(5)式得到：

$f(b) = f(a) + {f}'(a)(b -a) + \frac{{f}''(c)}{2}(b-a)^2$ (6)

公式 (6)就是linear approximation。

参考资料：

Calculus with Application by Peter D. Lax

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