ECC(Elliptic Curves Cryptography)加密算法是一种公钥加密算法，与主流的RSA算法相比，ECC算法可以使用较短的密钥达到相同的安全程度。近年来，人们对ECC的认识已经不再处于研究阶段，开始逐步进入实际应用，如国家密码管理局颁布的SM2算法就是基于ECC算法的。下面我们来认识一下ECC的工作原理。

椭圆曲线

定义

在引入椭圆曲线之前，不得不提到一种新的坐标系-------射影平面坐标系，它是对笛卡尔直角坐标系的扩展，增加了无穷远点的概念。在此坐标系下，两条平行的直线是有交点的，而交点就是无穷远点。两者的变换关系为：

笛卡尔坐标系中的点a(x,y)，令x=X/Z，y=Y/Z，则射影平面坐标系下的点a的坐标为(X,Y,Z)，如点(2,3)就转换为(2Z,3Z,Z)。

椭圆曲线定义：一条椭圆曲线在射影平面上满足方程：Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3的所有点的集合，且曲线上每个点都是非奇异的。

该方程有名维尔维斯特拉斯方程，椭圆曲线的形状不是椭圆，只是因为其描述的方程类似于计算一个椭圆周长的方程。转换到笛卡尔坐标系下的方程为：

y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6

加法法则

运算法则：任意取椭圆曲线上两点P、Q (若P、Q两点重合，则做P点的切线)做直线交于椭圆曲线的另一点R’，过R’做y轴的平行线交于R。我们规定P+Q=R。(如图)

此处+不是简单的实数相加，是抽象出来的

O∞+P=P，O∞为零元

曲线上三个点A,B,C处于一条直线上，则A+B+C=O∞

下面，我们利用P、Q点的坐标(x1,y1)，(x2,y2)，求出R=P+Q的坐标(x4,y4)。

P,Q,R'共线，设为y=kx+b，

若P≠Q，k=(y1-y2)/(x1-x2)

若P=Q，k=(3x2+2a2x+a4 -a1y) /(2y+a1x+a3)

解方程组得到：

x4=k2+ka1-a2-x1-x2;

y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;

密码学中的椭圆曲线

定义

在有限域Fp中定义一个椭圆曲线，常用y2=x3+ax+b

Fp中只有p个元素，p为素数

Fp中，a+b≡c (mod p)，a×b≡c (mod p)，a/b≡c (mod p)

4a3+27b2≠0　(mod p)  a，b是小于p的非负整数

x，y属于0到p-1间的证书，曲线标记为Ep(a，b)

阶：椭圆曲线上一点P，存在正整数n，使得nP=O∞，则n为P的阶，若n不存在，则P是无限阶的，有限域上定义的椭圆曲线上所有点的阶都存在。

椭圆曲线难题

K=kG，其中K,G为Ep(a,b)上的点，k为小于n的整数，n是点G的阶，给定k和G，计算K容易，但是给定K和G，求k就很难了！

因此，设K为公钥，k为私钥，G为基点。

加密过程

A选定一条椭圆曲线Ep(a,b)，并取曲线上一点作为基点G

A选择一个私钥k，并生成公钥K=kG

A将Ep(a,b)和k，G发送给B

B收到后将明文编码到Ep(a,b)上一点M，并产生一个随机数r

B计算点C1=M+rK，C2=rG

B将C1，C2传给A

A计算C1-kC2=M+rkG-krG=M

A对M解码得到明文

攻击者只能得到Ep(a,b)，G，K，C1，C2，没有k就无法得到M。

签名验签流程

A选定一条椭圆曲线Ep(a，b)，并取曲线上一点作为基点G

A选择一个私钥k，并生成公钥K=kG

A产生一个随机数r，计算R(x,y)=rG

A计算Hash=SHA(M)，M‘=M(modp)

A计算S=(Hash+M'k)/r(modp)

B获得S和M'，Ep(a,b)，K，R(x,y)

B计算Hash=SHA(M)，M'=M(modp)

B计算R'=(Hash*G+M'*K)/S=(Hash*G+M'*kG)*r/(Hash+M'k)=rG=R(x,y)，若R'=R，则验签成功。

以上加解密和签名验签流程只是一个例子，具体应用时可以利用K=kG这一特性变幻出多种加解密方式。