CodeForces - 1459D Glass Half Spilled(dp)

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题目大意：给出 n 个水杯，每个水杯最大容量为 aia_iai，每个水杯初始时有 bib_ibi 的水，两个水杯之间可以互相倒水，不过每次会损失一半水量，更具体的说，假设第 iii 个水杯向第 jjj 个水杯中倒 xxx 单位的水（xxx可以为任意实数），那么操作之后两个杯子中的水会变为：bi−x，bj+x2b_i-x，b_j+\frac{x}{2}bi−x，bj+2x，现在可以执行任意次数的倒水操作。

假设最终需要选则 kkk 个杯子，使得其水量之和尽量大，问最大可以是多少

现在问选取 k∈[1,n]k \in [ 1,n]k∈[1,n] 时的答案

题目分析：比赛的时候想到是 dpdpdp 了，但是推出了一个带有后效性的转移，然后自己把自己给否定了，没有继续思考下去，有点可惜

先不考虑倒水操作，那么设 dpi,j,kdp_{i,j,k}dpi,j,k为前 iii 个杯子中，选择了 jjj 个杯子，杯子容量上限之和(∑a)(\sum a)(∑a)为 kkk 时的最大水量之和(∑b)(\sum b)(∑b)，不难看出这是一个背包的变形，直接枚举转移即可，同时可以将第一维滚动进行，转移方程如下：
dpi,j,k=max{dpi−1,j,k不选择第i项dpi−1,j−1,k−ai+bi选择第i项dp_{i,j,k}=max \left\{ \begin{aligned} &dp_{i-1,j,k} &不选择第i项\\ &dp_{i-1,j-1,k-a_i}+b_i&选择第i项\\ \end{aligned} \right. dpi,j,k=max{dpi−1,j,kdpi−1,j−1,k−ai+bi不选择第i项选择第i项

最后直接枚举状态维护最大值即可，假设初始时所有水量之和为 sumbsumbsumb 现在需要选择 jjj 个杯子，且最大容量为 kkk 时，此时的答案就是 min(dpi,j,k+sumb−dpi,j,k2,k)min(dp_{i,j,k}+\frac{sumb-dp_{i,j,k}}{2},k)min(dpi,j,k+2sumb−dpi,j,k,k)了，化简一下，且内部同时乘以 222，则变成了 min(dpi,j,k+sumb,2∗k)min(dp_{i,j,k}+sumb,2*k)min(dpi,j,k+sumb,2∗k)，维护一下最大值就可以了

代码：

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<unordered_map>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=110;int a[N],b[N],dp[2][N][N*N];int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE// freopen("data.in.txt","r",stdin);// freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n,sa=0,sb=0;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",a+i,b+i);sa+=a[i];sb+=b[i];}for(int j=0;j<=n;j++)for(int k=0;k<=sa;k++)dp[0][j][k]=-inf;dp[0][0][0]=0;int t=1;for(int i=1;i<=n;i++,t^=1){for(int j=0;j<=n;j++)//不选第i个杯子for(int k=0;k<=sa;k++)dp[t][j][k]=dp[t^1][j][k];for(int j=1;j<=n;j++)//选第i个杯子for(int k=a[i];k<=sa;k++)dp[t][j][k]=max(dp[t][j][k],dp[t^1][j-1][k-a[i]]+b[i]);}for(int i=1;i<=n;i++){int ans=0;for(int j=0;j<=sa;j++)ans=max(ans,min(2*j,dp[t^1][i][j]+sb));printf("%.10f ",ans/2.0);}puts("");return 0;
}

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