HihoCoder - 1879 Rikka with Triangles(极角排序求所有锐角三角形的面积)

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题目大意：给出 n ( n <= 2000 ) 个点，求出所有不同的锐角三角形的面积

题目分析：n^3 暴力枚举肯定是不可以的，和之前写过的一个题目思路很像：HDU-5784

所以这个题目的思路就是，枚举所有的角，如果是锐角的话贡献为 1，如果是钝角或直角的话贡献为 -2，最后相加除以 3 即可，可行性的证明可以直接列举一下三种三角形的情况：

锐角三角形：三个角都是锐角，计算出的贡献为 3 倍的面积
直角三角形：一个角为直角，其余两个角都为锐角，直角的提供 -2 倍的贡献，其余两个锐角提供 2 倍的贡献，可以相互抵消
钝角三角形：同直角三角形可以抵消

这样的话利用极角排序枚举每个角，将时间复杂度优化到 n^2logn，具体就是，O( n ) 枚举一个点记为 A，O( nlogn ) 以点 A 为中心进行极角排序，随后 O( n ) 枚举一条向量 AB，双指针寻找另一个向量的可行边界 AC，这样就可以快速计算出角 BAC 的贡献了，因为点积和叉积都满足分配率，就可以将叉积求解三角形面积的公式进行化简，用前缀和来进行辅助计算即可

值得一提的是，点积的几何意义是，两个向量的方向：

AB * AC > 0 ：角 BAC 大于 0 度，小于 90 度
AB * AC = 0 ：角 BAC 等于 90 度，也就是 AB 垂直于 AC
AB * AC < 0 ：角 BAC 大于 90 度，小于 180 度

然后叉积的几何意义是方向，右手定则，通俗一点来讲就是在 180 度以内，两条向量的相对位置，如果只关注叉积的数值的话，叉积的绝对值是两个向量所组成的平行四边形的面积

还有就是极角排序，需要先对向量进行象限排序，如果不在同一象限的话再按照叉积排序（叉积相同且象限相同的话，怎么排都无所谓了，因为在这个题目中是都会跳过的（因为两个向量共线，三角形的面积为 0 ，没必要过多的计算））

最后就是这个题目需要注意的一点了，数据范围给的特别大，显然用 double 是不行的了，double 的精度也就只有 1e15 的样子，所以所有的数据都需要用 long long 来储存，然后好多好多地方的运算都会爆 long long ，需要暂时用 __int128 来进行运算，代码中我用小写的 ll 代替 __int128 ，大写的 LL 代替的 long long

比较不错的一道题目吧，做完之后收获颇丰

代码：

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<unordered_map>
using namespace std;typedef long long LL;typedef __int128 ll;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=2e3+100;const int mod=998244353;const int inv3=332748118;LL ans,not_ans,sumx[N<<1],sumy[N<<1];int n;inline int sgn(LL x){if(x==0)return 0;if(x < 0)return -1;else return 1;
}struct Point{LL x,y;Point(){}Point(LL _x,LL _y){x = _x;y = _y;}void input(){scanf("%lld%lld",&x,&y);}bool operator == (Point b)const{return sgn(x-b.x) == 0 && sgn(y-b.y) == 0;}bool operator < (Point b)const{return sgn(x-b.x)== 0?sgn(y-b.y)<0:x<b.x;}Point operator -(const Point &b)const{return Point(x-b.x,y-b.y);}Point operator +(const Point &b)const{return Point(x+b.x,y+b.y);}//叉积ll operator ^(const Point &b)const{return (ll)x*b.y - (ll)y*b.x;}//点积ll operator *(const Point &b)const{return (ll)x*b.x + (ll)y*b.y;}
}p[N],q[N<<1];inline int getxx(Point& a)
{if(sgn(a.x)>0 && sgn(a.y)>=0) return 1;if(sgn(a.x)<=0 && sgn(a.y)>0) return 2;if(sgn(a.x)<0 && sgn(a.y)<=0) return 3;if(sgn(a.x)>=0 && sgn(a.y)<0) return 4;
}bool cmp(Point a,Point b)
{if(getxx(a)!=getxx(b))return getxx(a)<getxx(b);return sgn(a^b)>0;
}void solve(int id)
{for(int i=1,j=1;i<=n;i++)if(i!=id)q[j++]=p[i]-p[id];sort(q+1,q+n,cmp);int n=::n-1;for(int i=1;i<=n;i++)q[i+n]=q[i];for(int i=1;i<=n<<1;i++){sumx[i]=(sumx[i-1]+q[i].x)%mod;sumy[i]=(sumy[i-1]+q[i].y)%mod;}int j=1,k=1,l=1;//相同极角的点的位置，锐角极角的位置，钝角极角的位置for(int i=1;i<=n;i++){while(j<i+n&&(q[i]^q[j])==0&&(q[i]*q[j])>0)j++;k=max(k,j);while(k<i+n&&(q[i]^q[k])>0&&(q[i]*q[k])>0)k++;l=max(l,k);while(l<i+n&&(q[i]^q[l])>0)l++;LL x1=(sumx[k-1]-sumx[j-1]+mod)%mod;LL y1=(sumy[k-1]-sumy[j-1]+mod)%mod;ans=(ans+((q[i].x%mod)*(y1)-(x1)*(q[i].y%mod))%mod+mod)%mod;LL x2=(sumx[l-1]-sumx[k-1]+mod)%mod;LL y2=(sumy[l-1]-sumy[k-1]+mod)%mod;not_ans=(not_ans+((q[i].x%mod)*(y2)-(x2)*(q[i].y%mod))%mod+mod)%mod;}
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--){ans=0,not_ans=0;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)p[i].input();for(int i=1;i<=n;i++)solve(i);printf("%lld\n",(ans-not_ans+mod-not_ans+mod)%mod*inv3%mod);}return 0;
}

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