RCBD

先介绍一个基本概念，nuisance factor，指的是不是我们想要研究的对象会对试验结果造成影响的factor。如果nuisance factor完全是未知的（不可以测量），可以用随机试验来消除nuisance factor对试验结果的影响；如果是已知的，但不可以控制的，可以用ANCOVA来分析试验结果；如果是已知的并且是可控的，那就可以用blocking的思想来设计试验。Blocking的思想其实很简单，比如要考虑一个treatment factor和一个nuisance factor，可以选择对于treatment factor的aaa个不同的level，组合上nuisance factor的bbb个level（又叫blocking level，nuisance factor此时也叫blocking factor），将这ababab个二元组合随机分配到试验对象上。RCBD全称是randomized complete blocking design，随机体现在将这ababab个二元组合随机分配到试验对象上这个随机分配中，complete体现在对每一个treatment level，都与bbb个blocking level作为二元组合处理了一个试验单位。
RCBD的试验结果可以用一个矩阵表示[yij]a×b[y_{ij}]_{a \times b}[yij]a×b，iii代表第iii个treatment level，jjj代表第jjj个blocking level。RCBD的统计模型是
yij=μ+τi+βj+ϵijϵij∼iidN(0,σ2);i=1,⋯,a;j=1,⋯,by_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}\\ \epsilon_{ij} \sim_{iid}N(0,\sigma^2);i=1,\cdots,a;j=1,\cdots,b yij=μ+τi+βj+ϵijϵij∼iidN(0,σ2);i=1,⋯,a;j=1,⋯,b
其中τi\tau_iτi表示treatment effect，βj\beta_jβj表示blocking effect。同样考虑fixed effect model，与单因素ANOVA类似，假设
∑i=1aτi=0,∑j=1bβj=0\sum_{i=1}^a \tau_i = 0, \sum_{j=1}^b \beta_j = 0 i=1∑aτi=0,j=1∑bβj=0
我们想要检验的是
H0:τ1=⋯=τaH_0:\tau_1 = \cdots = \tau_a H0:τ1=⋯=τa
定义几个符号
yi.=∑j=1byij,yˉi.=yi.by.j=∑i=1ayij,yˉ.j=y.jay..=∑i=1ayi.=∑j=1by.j,yˉ..=y..N,N=aby_{i.} = \sum_{j=1}^b y_{ij}, \bar{y}_{i.} = \frac{y_{i.}}{b} \\ y_{.j} = \sum_{i=1}^a y_{ij}, \bar{y}_{.j} = \frac{y_{.j}}{a} \\ y_{..} = \sum_{i=1}^a y_{i.}=\sum_{j=1}^b y_{.j}, \bar{y}_{..} = \frac{y_{..}}{N},N=ab yi.=j=1∑byij,yˉi.=byi.y.j=i=1∑ayij,yˉ.j=ay.jy..=i=1∑ayi.=j=1∑by.j,yˉ..=Ny..,N=ab
类似单因素ANOVA，可以用最小二乘法推参数估计
τ^i=yˉi.−yˉ..,β^j=yˉ.j−yˉ.j,eij=yij−yˉi.−yˉ.j+yˉ..\hat{\tau}_i = \bar{y}_{i.}-\bar{y}_{..},\hat{\beta}_j=\bar{y}_{.j}-\bar{y}_{.j},e_{ij}=y_{ij} - \bar{y}_{i.} - \bar{y}_{.j} + \bar{y}_{..} τ^i=yˉi.−yˉ..,β^j=yˉ.j−yˉ.j,eij=yij−yˉi.−yˉ.j+yˉ..
然后做方差分解，总平方和为
SST=∑i=1a∑j=1b(yij−yˉ..)2SST = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (y_{ij}-\bar{y}_{..})^2 SST=i=1∑aj=1∑b(yij−yˉ..)2
做一个替换
yij−yˉ..=(yˉi.−yˉ..)+(yˉ.j−yˉ..)+(yij+yˉ..−yˉi.−yˉ.j)y_{ij} - \bar{y}_{..} = (\bar{y}_{i.}-\bar{y}_{..}) + (\bar{y}_{.j}-\bar{y}_{..}) + (y_{ij}+\bar{y}_{..} - \bar{y}_{i.} - \bar{y}_{.j}) yij−yˉ..=(yˉi.−yˉ..)+(yˉ.j−yˉ..)+(yij+yˉ..−yˉi.−yˉ.j)
这三项的交叉项的和都会为零，因此只会剩下平方项
∑i=1a∑j=1b(yij−yˉ..)2=∑i=1a∑j=1b(yˉi.−yˉ..)2+∑i=1a∑j=1b(yˉ.j−yˉ..)2+∑i=1a∑j=1n(yij+yˉ..−yˉi.−yˉ.j)2\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (y_{ij}-\bar{y}_{..})^2 = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (\bar{y}_{i.}-\bar{y}_{..})^2 + \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (\bar{y}_{.j}-\bar{y}_{..})^2 + \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n (y_{ij}+\bar{y}_{..} - \bar{y}_{i.} - \bar{y}_{.j})^2 i=1∑aj=1∑b(yij−yˉ..)2=i=1∑aj=1∑b(yˉi.−yˉ..)2+i=1∑aj=1∑b(yˉ.j−yˉ..)2+i=1∑aj=1∑n(yij+yˉ..−yˉi.−yˉ.j)2
其中
∑i=1a∑j=1b(yij+yˉ..−yˉi.−yˉ.j)2=∑i=1a∑j=1beij2=SSE∑i=1a∑j=1b(yˉ.j−yˉ..)2=∑i=1a∑j=1bβ^j2=SSB∑i=1a∑j=1b(yˉi.−yˉ..)2=∑i=1a∑j=1bτ^i2=SSM\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (y_{ij}+\bar{y}_{..} - \bar{y}_{i.} - \bar{y}_{.j})^2 = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b e_{ij}^2 = SSE \\ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (\bar{y}_{.j}-\bar{y}_{..})^2 = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \hat{\beta}_j^2 = SSB\\ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (\bar{y}_{i.}-\bar{y}_{..})^2 = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \hat{\tau}_i^2 = SSM i=1∑aj=1∑b(yij+yˉ..−yˉi.−yˉ.j)2=i=1∑aj=1∑beij2=SSEi=1∑aj=1∑b(yˉ.j−yˉ..)2=i=1∑aj=1∑bβ^j2=SSBi=1∑aj=1∑b(yˉi.−yˉ..)2=i=1∑aj=1∑bτ^i2=SSM
方差分解式为
SST=SSM+SSB+SSESST=SSM+SSB+SSESST=SSM+SSB+SSE
所以ANOVA Table为

来源	SS	df	MS	F
试验	SSMSSMSSM	a-1	MSM=SSMdfMMSM = \frac{SSM}{df_M}MSM=dfMSSM	FM=MSM/MSEF_M=MSM/MSEFM=MSM/MSE
区组	SSBSSBSSB	b-1	MSB=SSBdfBMSB=\frac{SSB}{df_B}MSB=dfBSSB	FB=MSB/MSEF_B = MSB/MSEFB=MSB/MSE
残差	SSESSESSE	(a-1)(b-1)	MSE=SSEdfEMSE = \frac{SSE}{df_E}MSE=dfESSE
总平方和	SSTSSTSST	N-1	MST=SSTdfTMST = \frac{SST}{df_T}MST=dfTSST

SAS code输出的结果是将SSM与SSB合并在一起作为ANOVA模型的SS汇报的，但汇报的时候会给出Type I SS与Type III SS，其中Type I SS指的是Sequential SS，可以参考回归那个系列将Sequential ANOVA的文章。Type III SS是marginal SS，对应的就是这个ANOVA Table中SSM与SSB那两行的结果。RCBD的模型假设验证方法与单因素ANOVA一致。但RCBD有一些特性需要单独提出来。最主要的就是可加性，可加性在RCBD中的含义是总效应yijy_{ij}yij是由grand mean，treatment effect，blocking effect和误差直接加总构成的，然后treatment factor和blocking factor之间可能有交互效应，在有交互效应时，可加性就不会成立了。要检验模型是否具有可加性可以使用1-degree freedom Tukey检验。
模型设定为
yij=μ+τi+βj+γτiβj+ϵijϵij∼iidN(0,σ2);i=1,⋯,a;j=1,⋯,by_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j +\gamma \tau_i \beta_j + \epsilon_{ij}\\ \epsilon_{ij} \sim_{iid}N(0,\sigma^2);i=1,\cdots,a;j=1,\cdots,b yij=μ+τi+βj+γτiβj+ϵijϵij∼iidN(0,σ2);i=1,⋯,a;j=1,⋯,b
原假设为
H0:γ=0H_0:\gamma = 0 H0:γ=0
表示可加性成立。交互项贡献的平方和为
SSN=[∑i=1a∑j=1byijyi.y.j−y..(SSM+SSB+y..2/ab)]2abSSM×SSBSS_N = \frac{\left[ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b y_{ij}y_{i.}y_{.j} - y_{..}(SSM+SSB+y_{..}^2/ab)\right]^2}{abSSM\times SSB} SSN=abSSM×SSB[∑i=1a∑j=1byijyi.y.j−y..(SSM+SSB+y..2/ab)]2
自由度为1，这部分平方和相当于是从原来的SSESSESSE中分离出来的，因此定义剩余的残差平方和为
SSE′=SSE−SSNSSE'=SSE-SS_N SSE′=SSE−SSN
由此可以构造F统计量
F0=SSNSSE′/[(a−1)(b−1)−1]∼F(1,(a−1)(b−1)−1)F_0 = \frac{SS_N}{SSE'/[(a-1)(b-1)-1]} \sim F(1,(a-1)(b-1)-1) F0=SSE′/[(a−1)(b−1)−1]SSN∼F(1,(a−1)(b−1)−1)
一个更简单的替代方案是先做原来的ANOVA
yij=μ+τi+βj+ϵijϵij∼iidN(0,σ2);i=1,⋯,a;j=1,⋯,by_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}\\ \epsilon_{ij} \sim_{iid}N(0,\sigma^2);i=1,\cdots,a;j=1,\cdots,b yij=μ+τi+βj+ϵijϵij∼iidN(0,σ2);i=1,⋯,a;j=1,⋯,b
拿到拟合值y^ij\hat{y}_{ij}y^ij，然后做
yij=μ+τi+βj+y^ij2+ϵijy_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \hat{y}_{ij}^2+\epsilon_{ij} yij=μ+τi+βj+y^ij2+ϵij
用y^ij2\hat{y}_{ij}^2y^ij2的Type III SS的F检验替代1-degree freedom Tukey检验。下面的模型与单因素ANOVA和RCBD相似的就不提，主要只讲后面的模型与这两个基本模型的差异了。

Latin Square Design

如果有两个nuisance factor就可以用Latin Square Design。试验设计框架沿用RCBD的框架，但对应的两个factor都作为blocking factor，分别称为row factor和column factor，treatment factor level设计成Latin Square作用在每个试验单位上。Complete Latin Square指的是每一行、每一列都包括所有treatment factor level，但每一行是不一样的排列、每一列也是不一样的排列。Incomplete Latin Square指的是每一行、每一列不一定包含所有treatment factor level，但每一行是不一样的排列、每一列也是不一样的排列。Complete Latin Square Design的统计模型是
yij=μ+αi+τj+βk+ϵijkϵijk∼iidN(0,σ2);i,j,k=1,⋯,py_{ij} = \mu +\alpha_i+ \tau_j + \beta_k + \epsilon_{ijk}\\ \epsilon_{ijk} \sim_{iid}N(0,\sigma^2);i,j,k=1,\cdots,p yij=μ+αi+τj+βk+ϵijkϵijk∼iidN(0,σ2);i,j,k=1,⋯,p
αi\alpha_iαi是column blocking factor，βk\beta_kβk是row blocking factor。这个模型的方差分解式为
SST=SSA+SSM+SSB+SSESST=SSA+SSM+SSB+SSESST=SSA+SSM+SSB+SSE
其中SSASSASSA是第一个nuisance factor的平方和，SSBSSBSSB是第二个。所以ANOVA Table为

来源	SS	df	MS	F
试验	SSMSSMSSM	p-1	MSM=SSMdfMMSM = \frac{SSM}{df_M}MSM=dfMSSM	FM=MSM/MSEF_M=MSM/MSEFM=MSM/MSE
区组A	SSASSASSA	p-1	MSA=SSAdfAMSA=\frac{SSA}{df_A}MSA=dfASSA	FA=MSA/MSEF_A = MSA/MSEFA=MSA/MSE
区组B	SSBSSBSSB	p-1	MSB=SSBdfBMSB=\frac{SSB}{df_B}MSB=dfBSSB	FB=MSB/MSEF_B = MSB/MSEFB=MSB/MSE
残差	SSESSESSE	(p-2)(p-1)	MSE=SSEdfEMSE = \frac{SSE}{df_E}MSE=dfESSE
总平方和	SSTSSTSST	N-1	MST=SSTdfTMST = \frac{SST}{df_T}MST=dfTSST

一个值得注意一下的地方是
dfE=(p−1)(p−2)df_E=(p-1)(p-2)dfE=(p−1)(p−2)，当ppp不够大的时候残差的自由度是很小的，这会导致平均每个自由度贡献的平方和会比较大，试验数据不足以支撑假设检验，因此一般需要对Latin Square Design做replication。常用的replication的方法有四种：控制blocking factor不变，重新设计Latin Square；控制row factor不变，使用新的column factor level，重新设计Latin Square；控制column factor不变，使用新的row factor level，重新设计Latin Square；使用新的row factor level，新的column factor level，重新设计Latin Square。第一种对应的模型改为
yij=μ+αi+τj+βk+δl+ϵijklϵijkl∼iidN(0,σ2);i,j,k=1,⋯,p,l=1,⋯,ny_{ij} = \mu +\alpha_i+ \tau_j + \beta_k +\delta_l+ \epsilon_{ijkl}\\ \epsilon_{ijkl} \sim_{iid}N(0,\sigma^2);i,j,k=1,\cdots,p,l=1,\cdots,n yij=μ+αi+τj+βk+δl+ϵijklϵijkl∼iidN(0,σ2);i,j,k=1,⋯,p,l=1,⋯,n
ANOVA Table为

来源	SS	df	MS	F
试验	SSMSSMSSM	p-1	MSM=SSMdfMMSM = \frac{SSM}{df_M}MSM=dfMSSM	FM=MSM/MSEF_M=MSM/MSEFM=MSM/MSE
区组A	SSASSASSA	p-1	MSA=SSAdfAMSA=\frac{SSA}{df_A}MSA=dfASSA	FA=MSA/MSEF_A = MSA/MSEFA=MSA/MSE
区组B	SSBSSBSSB	p-1	MSB=SSBdfBMSB=\frac{SSB}{df_B}MSB=dfBSSB	FB=MSB/MSEF_B = MSB/MSEFB=MSB/MSE
重复试验	SSRSSRSSR	n−1n-1n−1	MSR=SSRdfRMSR=\frac{SSR}{df_R}MSR=dfRSSR	FR=MSR/MSEF_R = MSR/MSEFR=MSR/MSE
残差	SSESSESSE	(n(p+1)-3)(p-1)	MSE=SSEdfEMSE = \frac{SSE}{df_E}MSE=dfESSE
总平方和	SSTSSTSST	N-1	MST=SSTdfTMST = \frac{SST}{df_T}MST=dfTSST

第二种对应的模型改为
yij=μ+αil+τj+βk+δl+ϵijklϵijkl∼iidN(0,σ2);i,j,k=1,⋯,p,l=1,⋯,ny_{ij} = \mu +\alpha_{il}+ \tau_j + \beta_k +\delta_l+ \epsilon_{ijkl}\\ \epsilon_{ijkl} \sim_{iid}N(0,\sigma^2);i,j,k=1,\cdots,p,l=1,\cdots,n yij=μ+αil+τj+βk+δl+ϵijklϵijkl∼iidN(0,σ2);i,j,k=1,⋯,p,l=1,⋯,n
ANOVA Table为

来源	SS	df	MS	F
试验	SSMSSMSSM	p-1	MSM=SSMdfMMSM = \frac{SSM}{df_M}MSM=dfMSSM	FM=MSM/MSEF_M=MSM/MSEFM=MSM/MSE
区组A	SSASSASSA	n(p-1)	MSA=SSAdfAMSA=\frac{SSA}{df_A}MSA=dfASSA	FA=MSA/MSEF_A = MSA/MSEFA=MSA/MSE
区组B	SSBSSBSSB	p-1	MSB=SSBdfBMSB=\frac{SSB}{df_B}MSB=dfBSSB	FB=MSB/MSEF_B = MSB/MSEFB=MSB/MSE
重复试验	SSRSSRSSR	n−1n-1n−1	MSR=SSRdfRMSR=\frac{SSR}{df_R}MSR=dfRSSR	FR=MSR/MSEF_R = MSR/MSEFR=MSR/MSE
残差	SSESSESSE	(np-2)(p-1)	MSE=SSEdfEMSE = \frac{SSE}{df_E}MSE=dfESSE
总平方和	SSTSSTSST	N-1	MST=SSTdfTMST = \frac{SST}{df_T}MST=dfTSST

第三种对应的模型改为
yij=μ+αi+τj+βkl+δl+ϵijklϵijkl∼iidN(0,σ2);i,j,k=1,⋯,p,l=1,⋯,ny_{ij} = \mu +\alpha_i+ \tau_j + \beta_{kl} +\delta_l+ \epsilon_{ijkl}\\ \epsilon_{ijkl} \sim_{iid}N(0,\sigma^2);i,j,k=1,\cdots,p,l=1,\cdots,n yij=μ+αi+τj+βkl+δl+ϵijklϵijkl∼iidN(0,σ2);i,j,k=1,⋯,p,l=1,⋯,n
ANOVA Table为

来源	SS	df	MS	F
试验	SSMSSMSSM	p-1	MSM=SSMdfMMSM = \frac{SSM}{df_M}MSM=dfMSSM	FM=MSM/MSEF_M=MSM/MSEFM=MSM/MSE
区组A	SSASSASSA	p-1	MSA=SSAdfAMSA=\frac{SSA}{df_A}MSA=dfASSA	FA=MSA/MSEF_A = MSA/MSEFA=MSA/MSE
区组B	SSBSSBSSB	n(p-1)	MSB=SSBdfBMSB=\frac{SSB}{df_B}MSB=dfBSSB	FB=MSB/MSEF_B = MSB/MSEFB=MSB/MSE
重复试验	SSRSSRSSR	n−1n-1n−1	MSR=SSRdfRMSR=\frac{SSR}{df_R}MSR=dfRSSR	FR=MSR/MSEF_R = MSR/MSEFR=MSR/MSE
残差	SSESSESSE	(np-2)(p-1)	MSE=SSEdfEMSE = \frac{SSE}{df_E}MSE=dfESSE
总平方和	SSTSSTSST	N-1	MST=SSTdfTMST = \frac{SST}{df_T}MST=dfTSST

第四种对应的模型改为
yij=μ+αil+τj+βkl+δl+ϵijklϵijkl∼iidN(0,σ2);i,j,k=1,⋯,p,l=1,⋯,ny_{ij} = \mu +\alpha_{il}+ \tau_j + \beta_{kl} +\delta_l+ \epsilon_{ijkl}\\ \epsilon_{ijkl} \sim_{iid}N(0,\sigma^2);i,j,k=1,\cdots,p,l=1,\cdots,n yij=μ+αil+τj+βkl+δl+ϵijklϵijkl∼iidN(0,σ2);i,j,k=1,⋯,p,l=1,⋯,n
ANOVA Table为

来源	SS	df	MS	F
试验	SSMSSMSSM	p-1	MSM=SSMdfMMSM = \frac{SSM}{df_M}MSM=dfMSSM	FM=MSM/MSEF_M=MSM/MSEFM=MSM/MSE
区组A	SSASSASSA	n(p-1)	MSA=SSAdfAMSA=\frac{SSA}{df_A}MSA=dfASSA	FA=MSA/MSEF_A = MSA/MSEFA=MSA/MSE
区组B	SSBSSBSSB	n(p-1)	MSB=SSBdfBMSB=\frac{SSB}{df_B}MSB=dfBSSB	FB=MSB/MSEF_B = MSB/MSEFB=MSB/MSE
重复试验	SSRSSRSSR	n−1n-1n−1	MSR=SSRdfRMSR=\frac{SSR}{df_R}MSR=dfRSSR	FR=MSR/MSEF_R = MSR/MSEFR=MSR/MSE
残差	SSESSESSE	(n(p-1)-1)(p-1)	MSE=SSEdfEMSE = \frac{SSE}{df_E}MSE=dfESSE
总平方和	SSTSSTSST	N-1	MST=SSTdfTMST = \frac{SST}{df_T}MST=dfTSST

Graeco-Latin Square Design

如果有三个nuisance factor就可以用Latin Square Design。沿用Latin Square Design的框架，但第三个nuisance factor level也做成Latin Square（这个factor一般叫做Greek Factor），与Treatment Factor level的Latin Square的Hamada乘积作用在每个实验单位上。统计模型是
yij=μ+αi+τj+βk+ξl+ϵijklϵijkl∼iidN(0,σ2);i,j,k,l=1,⋯,py_{ij} = \mu +\alpha_i+ \tau_j + \beta_k +\xi_l+ \epsilon_{ijkl}\\ \epsilon_{ijkl} \sim_{iid}N(0,\sigma^2);i,j,k,l=1,\cdots,p yij=μ+αi+τj+βk+ξl+ϵijklϵijkl∼iidN(0,σ2);i,j,k,l=1,⋯,p
分析方法与Latin Square Design类似，自由度不足的问题也需要做replicate。

BIBD

BIBD全称是Balanced Incomplete Block Design。在RCBD中，定义0-1矩阵NNN与[yij][y_{ij}][yij]维数相同，N(i,j)=1N(i,j)=1N(i,j)=1表示第iii个treatment factor level要作用在第jjj个block1上。如果NNN不是全是1的矩阵，则这个试验就是incomplete的。假设每一列均有kkk个1，且每一列各不相同，每个treatment level作用在rrr个block上，且每一行各不相同，这样的试验叫做BIBD。从而试验单位总数满足
N=ar=bkN=ar=bkN=ar=bk
如果a=ba=ba=b，称试验为对称的。假设每一对treatment factor level出现在λ\lambdaλ个block中，则
λ(a−1)=r(k−1)\lambda(a-1)=r(k-1) λ(a−1)=r(k−1)
证明：对于第iii个treatment factor level，还有a−1a-1a−1个treatment factor level可以和它组成两两组合，他们会出现在λ\lambdaλ个block中，则所有可能的组合数目为λ(a−1)\lambda(a-1)λ(a−1)。这个treatment factor level会出现在rrr个block中，每一个block会有kkk个不同的treatment，因此可以和iii构成k−1k-1k−1个不同的两两组合，则所有可能组合数目为r(k−1)r(k-1)r(k−1)。二者均表示第iii个treatment factor level可能存在的组合数目。
BIBD的统计模型与RCBD类似：
yij=μ+τi+βj+ϵijϵij∼iidN(0,σ2);i=1,⋯,a;j=1,⋯,by_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}\\ \epsilon_{ij} \sim_{iid}N(0,\sigma^2);i=1,\cdots,a;j=1,\cdots,b yij=μ+τi+βj+ϵijϵij∼iidN(0,σ2);i=1,⋯,a;j=1,⋯,b
需要注意的是它的估计与RCBD有所不同。同样使用最小二乘法估计
μ^=y..N,τ^i=kQiλa,β^j=rQj′λb\hat{\mu} = \frac{y_{..}}{N},\hat{\tau}_i = \frac{kQ_i}{\lambda a},\hat{\beta}_j = \frac{rQ_j'}{\lambda b} μ^=Ny..,τ^i=λakQi,β^j=λbrQj′
其中
Qi=yi.−1k∑j=1bnijyij,Qj′=y.j−1r∑i=1anijyijQ_i = y_{i.} - \frac{1}{k}\sum_{j=1}^b n_{ij}y_{ij},Q_j'=y_{.j}-\frac{1}{r}\sum_{i=1}^a n_{ij}y_{ij}Qi=yi.−k1j=1∑bnijyij,Qj′=y.j−r1i=1∑anijyij
在Incomplete的时候，treatment effect并不是互相独立的
Var(τ^i−τ^j)=2kσ2λaVar(\hat{\tau}_i - \hat{\tau}_j) = \frac{2k\sigma^2}{\lambda a} Var(τ^i−τ^j)=λa2kσ2
Treatment effect与blocking effect以及blocking effect之间也不是独立的。因为treatment会作用在rrr个block中，所以treatment effect中是有blocking effect存在的，为了将其扣除掉得到准确的treatment effect
，SSMSSMSSM需要做一些调整。
SSM=k∑i=1aQiλa=λak∑i=1aτ^i2SSM = \frac{k \sum_{i=1}^a Q_i}{\lambda a}= \frac{\lambda a}{k}\sum_{i=1}^a \hat{\tau}_i^2 SSM=λak∑i=1aQi=kλai=1∑aτ^i2

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