2019年上海市数学建模讲座（3）微分方程建模方法
第三场微分方程建模讲座笔记
主讲人：董程栋，上海财经大学数学学院
微分方程：
定义：联系着自变量，未知函数与它的导数之间的关系式
物体冷却过程中的数学模型
牛顿冷却定律：物体温度变化速度与物体和介质温度的差值成正比
学到:
第一，找到相应的背景知识
第二，掌握微分方程的知识
动态模型：
定义：描述对象特征随着时间（或者空间）的演变过程
分析，预报，控制对象的手段
常微分方程
微分方程分为常微分方程和偏微分方程
常微分方程:自变量只有一个的微分方程
常微分方程建模过程：
1.简化假设
2，实际情况：函数和变化率
3.内在规律建方程
减肥模型
分析：能量守恒
建立模型
改进模型
(以上照片如果侵权，请联系笔者删除)
看竞赛真题
2001年美赛斑马贻贝，数量过多有害
【1】讨论影响传播的因素
【2】利用数据模拟斑马贻贝的增长情况
想到：自然界生物增长模型
阻滞增长模型 logistic模型
最重要的假设是最大容量是多少
一般形式是微分方程，得到导数是钟形图形
我们需要看图形，根据数据，绘制斑马贻贝的模型得到差不多的增长图像
1996年竞赛A题：最优捕鱼策略
捕捞强度系数和自然死亡率
单位时间内捕捞量与鱼群数量的比例系数
规划问题
微分方程模型一般是一部分，一道题中的
2005A题：长江水质综合评价
1评价定量评价，分析水质污染情况 2.污染源有哪些
四个指标：溶解氧，高猛酸盐指数，氨氮，ph
1.指标的问题：
有的越大越好，有的越小越好。
有的一项指标会覆盖其他指标，比如氨氮是六级，溶解氧很高，也是污水，水质不好
还有：量纲不同，数据大小不同
2.数据的标准化处理
ph值的谷型处理
|ph-7|除以一个差
DO值的归一化处理
NH3-N归一化处理
n减去最小值，整体除以最大值减去最小值这个整体
3.综合指标的确定
采用动态加权法
给定一个欧米伽，作用是让数据分散化，手机上有照片
是否可以用层次分析法来求四个参数的权重？
层次分析法的一致性检验 不一定能通过
17个观测点28个排序结果
决策论中的borda数法决定决策方案
上面是第一问
思考：我们要学习的是对数据的处理方法
第二问，看污染物 的问题
分为六段，逐段分析
一维水质模型
污染物分布浓度，断面均匀，平均流速，其中k是污染物降解系数
怎么用呢？
江段AB距离d，n个排污口
排污口的流量，平均流速，污染物浓度
和江段干流的上述三个参数，用大写表示
找到干流和排污口和上游的关系
污染物排放量的确定方法
排污量的上界值
假设AB段内所有排污在一个点A，降解在一个位置B
排污量的下界值
假设排污口都在B点
平均相对排污量
取中值作为平均
第二问用的是一维水质模型：常微分方程解决了这个问题
第三问
线性多元回归
第四问，控制污水的比例
用的主要是回归
总结这道题目:
计算排污的上界值和下界值，从而计算相对平均值，计算整体的排污量，这是一维水质模型，常微分方程的作用
下一道竞赛题
2003年A题 SARS 传播
提供一个早期的模型，评判
建立自己的模型，预测预防控制信息的模型
传染病模型回顾（笔者自己查找资料）
模型一：已感染人数（病人）
模型二：SI模型
模型三：SIS模型
模型四：移出者SIR模型
传染病模型部分来源于
http://www.mcm.dept.ccut.edu.cn/sort.asp?4V3z3P2z2z2J2.html
评价之前的模型：
一：优点
抓住主要特征
对比
容易理解
对参数挑选
二：缺点
缺乏一般原则和算法
第二问
建立自己的模型
模型的改进
四类：死亡的人包括进来
病人的变化，右边是传染的，治疗好的，死亡的
还有死亡的
建立常微分方程组
需要离散，得到递推关系，差分方程
每个sars病人传染的人数，确定的原则是：新增的病人除以当天的感染人数
用指数曲线进行回归拟合
得到随时间变化的关系，用图像来表示
第三问：收集Sars 对经济某方面影响的数据，建立模型
老师补充：善于运用现成的模型，加上自己的创新点
第三问影响可能是好的，不仅仅是坏的结果。
建模数值解法的基本思想
【1】euler折现法
或者称为矩形法
利用taylor展开
【2】化导数成为差商
两者都能得到差分方程
输入参数，可以求得差分的方程结果
最后，笔者附上建模的基本方法：
【总结】
微分方程的偏微分部分是竞赛中常考点。熟悉一些基本的微分方程的模型，但是具体问题具体分析。比如人口模型，传染病模型需要掌握。
备注：以上是笔者参加上海大学数学建模培训时记录的笔记。中间包含部分笔者查找的资料。
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