20211005 Hermite矩阵及几个性质

Hermite矩阵：aija_{ij}aij 与 ajia_{ji}aji 共轭，即实部相等，虚部相反。

Hermite 矩阵的几个性质

(1) 设 A∈Crm×n(r>0)\boldsymbol{A} \in \mathbf{C}_{r}^{m \times n}(r>0)A∈Crm×n(r>0), 则 AHA\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}AHA 是 Hermite 矩阵,且其特征值均是非负实数;
(2) rank⁡(AHA)=rank⁡A\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}\right)=\operatorname{rank} \boldsymbol{A}rank(AHA)=rankA;
(3) 设 A∈Cm×n\boldsymbol{A} \in \mathbf{C}^{m \times n}A∈Cm×n, 则 A=O\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}A=O 的充要条件是 AHA=O\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}AHA=O. 这些结论请读者证明.

Proof. (1) Hermite矩阵是指A是A的共轭转置，因为AHA=(AHA)H\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} = \left( \boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \right)^{\mathrm{H}}AHA=(AHA)H，所以AHA\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}AHA 是
Hermite 矩阵. 因为 xHAHAx=(Ax)HAx⩾0\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \right)^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \geqslant 0xHAHAx=(Ax)HAx⩾0
对于任意非零的x\boldsymbol{x}x，所以AHA\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}AHA
的特征值均是非负实数.

(2) 对于某个的x∈Cn\boldsymbol{x} \in \mathbf{C}^{n}x∈Cn，如果Ax=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0Ax=0，可以推出AHAx=0\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0AHAx=0；对于某个的x∈Cn\boldsymbol{x} \in \mathbf{C}^{n}x∈Cn，如果AHAx=0\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0AHAx=0，则xHAHAx=(Ax)HAx=0\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \right)^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0xHAHAx=(Ax)HAx=0，可以得到Ax=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0Ax=0。说明零空间相同，零空间维数相同.

考虑到矩阵的列数=其最大线性无关组的个数（秩）+零空间维数，AHA\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}AHA和A\boldsymbol{A}A的列数相同，零空间相同，所以秩相同.

(3) 如果A=O\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}A=O，则AHA=O\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}AHA=O成立；如果AHA=O\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}AHA=O，则对任意x∈Cn\boldsymbol{x} \in \mathbf{C}^{n}x∈Cn，有xHAHAx=(Ax)HAx=0\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \right)^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0xHAHAx=(Ax)HAx=0，即对任意x∈Cn\boldsymbol{x} \in \mathbf{C}^{n}x∈Cn，有Ax=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0Ax=0，则对A\boldsymbol{A}A的任一行向量，均与所有x∈Cn\boldsymbol{x} \in \mathbf{C}^{n}x∈Cn垂直，那么A\boldsymbol{A}A的所有行都是O\boldsymbol{O}O，也就是说A=O\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}A=O.

定义 4. 11 设 A∈Crm×n(r>0),AHA\boldsymbol{A} \in \mathbf{C}_{r}^{m \times n}(r>0), \boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}A∈Crm×n(r>0),AHA 的特征值为
λ1⩾λ2⩾⋯⩾λr>λr+1=⋯=λn=0\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \cdots \geqslant \lambda_{r}>\lambda_{r+1}=\cdots=\lambda_{n}=0 λ1⩾λ2⩾⋯⩾λr>λr+1=⋯=λn=0 则称 σi=λi(i=1,2,⋯,n)\sigma_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}(i=1,2, \cdots, n)σi=λi(i=1,2,⋯,n) 为 A\boldsymbol{A}A 的奇异值;当 A\boldsymbol{A}A 为零矩阵时, 它的奇异值都是 0.0 .0.

易见,
(1) 矩阵 A\boldsymbol{A}A 的奇异值的个数等于 A\boldsymbol{A}A 的列数.

(2) A\boldsymbol{A}A 的非零奇异值的个数等于 rank⁡A\operatorname{rank} ArankA.

Proof: A\boldsymbol{A}A 的零奇异值，也就是AHA\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}AHA的零特征根，也就是AHAx=O\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{O}AHAx=O的解，那么A\boldsymbol{A}A的零奇异值的个数也就等于AHA\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}AHA的零空间的维数。

另外，A\boldsymbol{A}A 的所有奇异值的个数等于AHA\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{A}AHA的维数。

从(2)可以看出，矩阵的列数=其最大线性无关组的个数（秩）+零空间维数，则A\boldsymbol{A}A 的非零奇异值的个数等于rank⁡A\operatorname{rank} ArankA.

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