格兰杰因果关系检验

时间序列向量自回归模型

格兰杰因果关系检验在时间序列计量经济学模型中被广泛采用，在讨论其细节之前，我们需要对向量自回归模型作简单的介绍。

向量自回归模型设定

将单个时间序列自回归模型扩展到多个时间序列，即构成向量自回归模型。写出含有 kkk 个时间序列，ppp 阶滞后的向量自回归模型 VAR(p){\rm VAR}(p)VAR(p) 表示如下：
Yt=μ+A1Yt−1+...+ApYt−p+εt,t=1,2,...,T.\boldsymbol{Y}_t=\boldsymbol\mu+\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{Y}_{t-1}+...+\boldsymbol{A}_p\boldsymbol{Y}_{t-p}+\boldsymbol{\varepsilon}_t \ , \ \ \ \ t=1,2,...,T \ . Yt=μ+A1Yt−1+...+ApYt−p+εt , t=1,2,...,T .

我们将矩阵形式展开写， VAR(p){\rm VAR}(p)VAR(p) 模型包括：
Yt−i=[Y1,t−iY2,t−i⋮Yk,t−i],i=0,1,2,⋯,p.\boldsymbol{Y}_{t-i}=\left[ \begin{array}{c} Y_{1,t-i} \\ Y_{2,t-i} \\ \vdots \\ Y_{k,t-i} \\ \end{array} \right] \ ,\ \ \ \ i =0,1,2,\cdots,p \ . Yt−i=⎣⎢⎢⎢⎡Y1,t−iY2,t−i⋮Yk,t−i⎦⎥⎥⎥⎤ , i=0,1,2,⋯,p .

Aj=[a11,ja12,j⋯a1k,ja21,ja22,j⋯a2k,j⋮⋮⋮ak1,jak2,j⋯akk,j],j=1,2,⋯,p.\boldsymbol{A}_j=\left[ \begin{array}{cccc} a_{11,j} & a_{12,j} & \cdots &a_{1k,j} \\ a_{21,j} & a_{22,j} & \cdots &a_{2k,j} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1,j} & a_{k2,j} & \cdots &a_{kk,j} \\ \end{array} \right] \ , \ \ \ \ j=1,2,\cdots,p \ . Aj=⎣⎢⎢⎢⎡a11,ja21,j⋮ak1,ja12,ja22,j⋮ak2,j⋯⋯⋯a1k,ja2k,j⋮akk,j⎦⎥⎥⎥⎤ , j=1,2,⋯,p .

μ=(μ1,μ2...,μk)T,εt=(ε1t,ε2t,...,εkt)T.\boldsymbol\mu=(\mu_1,\mu_2\,...,\mu_k)^{\rm T} \ ,\ \ \ \ \boldsymbol\varepsilon_t=(\varepsilon_{1t},\varepsilon_{2t},...,\varepsilon_{kt})^{\rm T} \ . μ=(μ1,μ2...,μk)T , εt=(ε1t,ε2t,...,εkt)T .

具体看一下 VAR(p){\rm VAR}(p)VAR(p) 模型的结构：

Yt\boldsymbol{Y}_tYt 是 kkk 维内生变量向量，ppp 是滞后阶数，样本数目为 TTT ；
A1,A2,⋯,Ap\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2,\cdots,\boldsymbol{A}_pA1,A2,⋯,Ap 是 k×kk\times kk×k 系数矩阵；
εt∼N(0,Σ)\boldsymbol{\varepsilon}_t\sim N(\boldsymbol0,\,\boldsymbol\Sigma)εt∼N(0,Σ) 是 kkk 维随机扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后项相关；
Σ\boldsymbol\SigmaΣ 是 εt\boldsymbol\varepsilon_tεt 的协方差矩阵，是一个 k×kk\times kk×k 的正定矩阵。

VAR{\rm VAR}VAR 模型主要是通过实际经济数据而非经济理论来确定的经济系统的动态结构模型。

在建模的过程中只需明确两个量，一个是所含变量个数 kkk ，即共有哪些变量是相互有关系的，并且需要把这些变量包括在 VAR{\rm VAR}VAR 模型中；另一个是自回归的最大滞后阶数 ppp ，使模型能反映出变量间相互影响的关系并使得模型的随机误差项 εt\boldsymbol\varepsilon_tεt 是白噪声。

VAR{\rm VAR}VAR 模型不存在识别问题和内生解释变量问题，每个方程都可以看做独立的方程进行普通最小二乘参数估计。

VAR{\rm VAR}VAR 模型的估计

模型最优滞后阶数的确定：

一方面想要使得滞后阶数足够大，以便能充分利用所构造模型的变量信息。
另一方面，滞后阶数不能过大，因为滞后阶数越大，需要估计的参数越多模型的自由度就越少，而通常数据有限，可能不足于估计模型。
常用准则：AIC{\rm AIC}AIC ，SC{\rm SC}SC 。

格兰杰因果关系检验

原理：VAR{\rm VAR}VAR 模型解释了某变量的变化受其自身及其他变量过去的行为的影响。当两个变量在时间上有先导即滞后关系时，可以从统计上考察这种关系是单向的还是双向的。

格兰杰因果关系检验的表述如下：

在时间序列情形下，两个经济变量 XXX 和 YYY 之间的格兰杰因果关系定义为：若在包含了变量 XXX 和 YYY 的历史信息的条件下，对变量 YYY 的预测效果只要优于只单独由 YYY 的历史信息对 YYY 进行的预测效果，即变量 XXX 有助于解释变量 YYY 的将来的变化，则认为变量 XXX 是变量 YYY 的格兰杰原因。

考察 XXX 是否影响 YYY 的问题，主要看当期的 YYY 能够在多大程度上被过去的 XXX 解释，在 YtY_tYt 方程中加入 XXX 的滞后项是否使解释程度显著提高。

首先建立 VAR{\rm VAR}VAR 模型：
Yt=∑i=1mαiXt−i+∑i=1mβiYt−i+μ1t,Y_t=\sum_{i=1}^m\alpha_iX_{t-i}+\sum_{i=1}^m\beta_iY_{t-i}+\mu_{1t} \ , Yt=i=1∑mαiXt−i+i=1∑mβiYt−i+μ1t ,

Xt=∑i=1mλiYt−i+∑i=1mδiXt−i+μ2t.X_t=\sum_{i=1}^m\lambda_iY_{t-i}+\sum_{i=1}^m\delta_iX_{t-i}+\mu_{2t} \ . Xt=i=1∑mλiYt−i+i=1∑mδiXt−i+μ2t .

有四种可能存在的因果关系：

若 XXX 对 YYY 有单向影响：α\alphaα 整体不为零，λ\lambdaλ 整体为零。
若 YYY 对 XXX 有单向影响：α\alphaα 整体为零，λ\lambdaλ 整体不为零。
若 XXX 对 YYY 有单向影响：α\alphaα 和 λ\lambdaλ 整体不为零。
若 XXX 对 YYY 有单向影响：α\alphaα 和 λ\lambdaλ 整体为零。

格兰杰检验通过受约束的 FFF 检验完成。例如：
Yt=∑i=1mαiXt−i+∑i=1mβiYt−i+μ1t,Y_t=\sum_{i=1}^m\alpha_iX_{t-i}+\sum_{i=1}^m\beta_iY_{t-i}+\mu_{1t} \ , Yt=i=1∑mαiXt−i+i=1∑mβiYt−i+μ1t ,

H0:α1=α2=⋯=αm=0,H_0:\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_m=0 \ , H0:α1=α2=⋯=αm=0 ,

F=(SSRr−SSRur)/mSSRur/(n−k).F=\frac{({\rm SSR}_r-{\rm SSR}_{ur})/m}{{\rm SSR}_{ur}/(n-k)} \ . F=SSRur/(n−k)(SSRr−SSRur)/m .

如果 F>Fα(m,n−k)F>F_\alpha(m,\,n-k)F>Fα(m,n−k) 则拒绝 XXX 不是 YYY 的格兰杰原因的原假设。
Xt=∑i=1mλiYt−i+∑i=1mδiXt−i+μ2t,X_t=\sum_{i=1}^m\lambda_iY_{t-i}+\sum_{i=1}^m\delta_iX_{t-i}+\mu_{2t} \ , Xt=i=1∑mλiYt−i+i=1∑mδiXt−i+μ2t ,

H0:λ1=λ2=⋯=λm=0,H_0:\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_m=0 \ , H0:λ1=λ2=⋯=λm=0 ,

F=(SSRr−SSRur)/mSSRur/(n−k).F=\frac{({\rm SSR}_r-{\rm SSR}_{ur})/m}{{\rm SSR}_{ur}/(n-k)} \ . F=SSRur/(n−k)(SSRr−SSRur)/m .

如果 F<Fα(m,n−k)F<F_\alpha(m,\,n-k)F<Fα(m,n−k) 则不拒绝 YYY 不是 XXX 的格兰杰原因的原假设。

综上所述，XXX 是 YYY 的格兰杰原因。

关于 FFF 检验的自由度：如果回归模型中包含常数项，则 k=2m+1k=2m+1k=2m+1 ，如果不包括常数项（如差分模型），则 k=2mk=2mk=2m 。

格兰杰因果关系检验的实际问题

滞后期长度的选择问题。检验结果对于滞后期长度的选择比较敏感，不同的滞后期可能会得到不同的检验结果。因此，一般而言，需要进行不同滞后期长度下的检验，观测其敏感程度，并且根据模型中随机干扰项不存在序列相关时的滞后期长度来选取滞后期。

时间序列的平稳性问题。格兰杰因果关系检验是针对平稳时间序列的。对于同阶单整的非平稳序列，理论上不能直接采用。如果将变量经过差分使之成为平稳序列之后再进行检验，经济意义就发生了变化，检验的就不是两个变量之间的关系，而是两个变量的增量之间的关系。

样本容量的问题。时间序列的样本容量对检验结果具有影响。试验表明，对于两个平稳序列，随着样本容量的增大，判断出存在格兰杰因果关系的概率显著增大。

格兰杰因果关系检验是必要性条件检验，而不是充分性条件检验。经济行为上存在因果关系的时间序列，是能够通过格兰杰因果关系检验的；而在统计意义上通过格兰杰因果关系检验的时间序列，在经济行为上并不一定存在因果关系。

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格兰杰因果关系检验

时间序列向量自回归模型

向量自回归模型设定

VAR{\rm VAR}VAR 模型的估计

格兰杰因果关系检验

格兰杰因果关系检验的实际问题

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