车辆动力学知识总结（三）二自由度动力学模型

1 轮胎侧偏特性

1.1 侧偏力和侧偏角

1.2 轮胎侧偏刚度获取

2 二自由度车辆动力学模型（两轮侧向动力学模型）

2.1 侧向加速度

2.2 车辆侧向力的合力（以汽车整体为对象）

2.3 公式推导

3 小结

我的在线笔记

参考资料：

自动驾驶控制算法（二）车辆二自由度动力学模型 - 知乎

carsim如何获得轮胎侧偏刚度_SSW.hani的博客-CSDN博客_轮胎侧偏刚度计算公式

【自动驾驶】车辆动力学模型_CHH3213的博客-CSDN博客_自动驾驶车辆动力学模型

1 轮胎侧偏特性

在运动学模型里面一个很重要的限定条件是考虑车辆是低速行驶，可以认为轮胎是刚性轮胎，无侧偏特性，即车辆轮胎沿着车身坐标系的轮胎转向角和轮胎的速度方向是一致的。

但是当车轮高速行驶时，轮胎就不能近似成刚性轮胎了。当轮胎受到侧偏力的时候，造成的结果就是车轮的速度方向和轮胎转向角不一致，此时差值为侧偏角（速度与车轮X轴的夹角）。此时运动学模型不再适用，需要使用动力学模型。

另外，说一下侧向力Fy和侧偏力FY，侧向力就是作用在轮胎上面的力，那么此时轮胎会给地面一个作用力，而侧偏力就是地面反作用于轮胎的力。

以下说的就是侧偏力。

1.1 侧偏力和侧偏角

注意：在《汽车理论》中，采用的是右手坐标系，轮胎侧偏刚度是一个负数，所以一个正向的侧偏力会导致轮胎负的侧偏角。

而在百度Apollo代码中，采用了左手坐标系，定义轮胎的侧偏刚度是正值，导致同一侧偏角在右手系中为负值，在左手系中成了正值，于是正的侧偏角x正的侧偏刚度=正的侧向力。这样结果又变成一样了。

侧偏力正比于侧偏角，此时需要预估侧偏刚度大小。

对侧偏刚度最大的影响因素就是轮胎自身的结构（如不同轮胎的扁平率、不同轮胎结构什么的）、还有垂直载荷。

1.2 轮胎侧偏刚度获取

轮胎侧向力在侧偏角为零附近成线性关系，即轮胎侧偏刚度在小侧偏角区域时为曲线的斜率。简单点讲你只要在曲线上求侧偏角为零时的斜率即可。但所估算出来的精度以及如何选取合适的点成为一个问题。

在这里需要借助轮胎模型中的“魔术公式”。

其中，系数B，C，D的乘积对应于原点处的斜率，即BCD=tanθ。

那么，通过魔术公式拟合carsim中的轮胎模型，获得B,C,D三个参数，再求乘积得斜率。

步骤：

carsim如何获得轮胎侧偏刚度_SSW.hani的博客-CSDN博客_轮胎侧偏刚度计算公式（trucksim）

https://zhuanlan.zhihu.com/p/466902984 (carsim）

以205/55 R16轮胎为例，按照上述方法，有工程师求取的侧偏刚度如下表，值可参考：

2 二自由度车辆动力学模型（两轮侧向动力学模型）

前面提到，高速时运动学模型不再适用，需要使用动力学模型。

动力学，顾名思义就是，车辆在受到力的作用之后运动的情况，对于车辆来说，只考虑前进、后退以及转向的运动（也就是只在大地坐标系XOY平面的运动），包括车辆的平动和转动。

之所以叫二自由度的车辆动力学模型，其实二自由度指的是横向上y轴的运动和绕z轴的转动，忽略了纵向x轴的的运动和力。

根据《车辆动力学及控制》，建立如下坐标系，X,Y表示全局坐标系，x,y则表示车身坐标系，x轴方向沿车辆中轴方向向前，y轴方向朝左，其车辆中心在质心位置。对于二自由度车辆的状态信息可表示为( y , ψ ) ，即代表车辆横向位置信息的y和表示车辆偏航角信息的ψ。

以汽车整体为对象，主要用到这两个公式：平动和转动。

Fy=may：合外力Fy=车辆质量m*车辆的线加速度ay

M=Izz*B：合外力矩M=车辆的转动惯量Izz*车辆的角加速度B（也就是Ψ的二阶导数）

其中，Fy指的是车辆坐标系下y轴方向的合力，所以要特别注意Fyf与车辆y轴有夹角。

2.1 侧向加速度

对于第1个公式，应该怎么求包含平动和转动的侧向加速度ay呢？可见下图公式推导：

在车身坐标系下，当车辆从初始时刻t经过很小的时间到达t+Δt时，车辆纵向和横向速度的变化如下：

对于车辆来说，这个时间内，不仅有位移的变化，还有转角的变化，把t+Δt时刻投影到t时刻的坐标轴上，得到ay和ax（ax这里用不到）。

(注意：得到汽车质心加速度在车辆坐标系上的加速度分量ax和ay，质心处速度V的速度分量图中写作了u和v，书上一般用Vx和Vy，都一样)

这里的θ_dot(即wr)是汽车航向角的变化率（质心速度v的方向角度变化，书上写作了Ψ_dot），因为航向角θ=质心侧偏角β+车辆横摆角Ψ，但质心侧偏角又很小，所以也可以当成横摆角的导数Ψ_dot（车辆动力学及控制书里就是这么写的）。

2.2 车辆侧向力的合力（以汽车整体为对象）

此时，以汽车整体为对象的侧向力合力实际上就是轮胎侧偏力的合力（即轮胎坐标系下轮胎受的力，但ay是车辆坐标系下的）。

分析此时的受力和状态，给2个图参考。Fy指的是车辆坐标系下y轴方向的合力，所以要特别注意Fyf与车辆y轴有夹角，即前轮转向角。（PS：此时忽略了纵向里Fxf在y轴的分力）

小角度假设：由于是高速情况下，所以假设前轮转角是很小cosδ≈1。

（PS：说明这个模型不适用于泊车工况，因为泊车时转角很大）

于是得到：

may=Fyf+Fyr；

前面提到，侧偏力正比于侧偏角，前后侧偏角如下图所示：

详细的前轮侧偏角如下：αf=δ−θvf；

（δ是前轮转向角，θvf是前轮速度矢量与车辆坐标系X轴的夹角）

同理，由于后轮转向角为 0 ，故后轮侧滑角为：αr=−θvr ；

2.3 公式推导

由此可得：

上述动力学方程的推导需要注意：

推导是建立在车辆侧偏角很小的情况下，这时的轮胎作用力与侧滑角可以近似为线性关系。当侧滑角很大时，轮胎作用力与侧滑角就不再是线性关系。
没有考虑坡度作用，考虑了其实也很简单，就是公式①中右侧多加一个mgsin(φ), φ为坡度角。
系统的状态变量分别是车辆的横向位移，横向速度，航向角（公式写作了横摆角），航向角速度（公式写作了横摆角速度），系统的输入是前轮转角。
二自由度动力学模型推导做了小角度假设，不太适合倒车入库等泊车这种前轮转角较大的工况，此时可使用基于几何关系推导的运动学模型。

3 小结

在自动驾驶中，控制的上一个环节是motion planning，所以控制的目标就变成了已知当前车辆的位置，该怎么跟随到预定的轨迹。

此时可以将状态变量转换成误差，让误差为0，就说明跟踪上了规划出来的道路。

于是就需要建立以误差为系统状态变量的状态空间表达式。

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