随机变量分布模型的数字特征

离散型

分布律
P(X=xi)=piP(X=x_i)=p_iP(X=xi​)=pi​
均值
E(X)=∑ixipiE(X)=\sum_{i}x_ip_iE(X)=i∑​xi​pi​
方差
D(X)=∑i(xi−E(X))2=E(X2)−E2(X)D(X)=\sum_{i}(x_i-E(X))^2=E(X^2)-E^2(X)D(X)=i∑​(xi​−E(X))2=E(X2)−E2(X)

两点分布X∼B(1,p)X\sim B(1,p)X∼B(1,p)

分布律P(X=k)=pk(1−p)1−k,k=0,1P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1P(X=k)=pk(1−p)1−k,k=0,1

均值E(X)=pE(X)=pE(X)=p

E(X)=0×(1−p)+1×p=pE(X)=0\times (1-p)+1\times p=p E(X)=0×(1−p)+1×p=p

均值D(X)=p(1−p)D(X)=p(1-p)D(X)=p(1−p)

方均值
E(X2)=02(1−p)+12×p=pE(X^2)=0^2(1-p)+1^2\times p=p E(X2)=02(1−p)+12×p=p
方差
D(X)=E(X2)−E2(X)=p−p2=p(1−p)D(X)=E(X^2)-E^2(X)=p-p^2=p(1-p) D(X)=E(X2)−E2(X)=p−p2=p(1−p)

二项分布X∼B(n,p)X\sim B(n,p)X∼B(n,p)

分布律P(X=k)=Cnkpkqn−k,q+p=1,k=0,1,2,...P(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k},q+p=1,k=0,1,2,...P(X=k)=Cnk​pkqn−k,q+p=1,k=0,1,2,...

均值E(X)=npE(X)=npE(X)=np

证明:
1.n次独立重复实验,每次成功概率为p,视为每次成功了p个实验,那么n次就成功了np个实验
2.更严谨的证明
E(X)=∑k=0nkpk=∑k=0nkCnkpkqn−k=∑k=0nkn!k!(n−k)!pkqn−k=np∑k=1n(n−1)!(k−1)!((n−1)−(k−1))!pk−1q(n−1)−(k−1)=np∑k=1nCn−1kpk−1q(n−1)−(k−1)=np(p+q)n−1//二项展开式逆用=np1n−1=np\begin{aligned} E(X)&=\sum_{k=0}^nkp_k\\ &=\sum_{k=0}^nkC_n^kp^kq^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^nk\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}\\ &=np\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\\ &=np\sum_{k=1}^nC_{n-1}^kp^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\\ &=np(p+q)^{n-1}//二项展开式逆用\\ &=np1^{n-1}\\ &=np \end{aligned} E(X)​=k=0∑n​kpk​=k=0∑n​kCnk​pkqn−k=k=0∑n​kk!(n−k)!n!​pkqn−k=npk=1∑n​(k−1)!((n−1)−(k−1))!(n−1)!​pk−1q(n−1)−(k−1)=npk=1∑n​Cn−1k​pk−1q(n−1)−(k−1)=np(p+q)n−1//二项展开式逆用=np1n−1=np​

方差D(X)=npqD(X)=npqD(X)=npq

证明:
方均值:
E(X2)=E(X(X−1)+X)=E(X(X−1))+E(X)E(X^2)=E(X(X-1)+X)=E(X(X-1))+E(X)E(X2)=E(X(X−1)+X)=E(X(X−1))+E(X)
问题转化为求E(X(X−1))E(X(X-1))E(X(X−1))
E(X(X−1))=∑k=1nk(k−1)pk=∑k=1nk(k−1)Cnkpkqn−k=∑k=1nk(k−1)n!k!(n−k)!pkqn−k=n(n−1)p2∑k=2n(n−2)!(k−2)!((n−2)−(k−2))!pk−2q(n−2)−(k−2)=n(n−1)p2∑k=2nCn−2kpk−2q(n−2)−(k−2)=n(n−1)p2(p+q)n−2=n(n−1)p2\begin{aligned} E(X(X-1))&=\sum_{k=1}^nk(k-1)p_k\\ &=\sum_{k=1}^nk(k-1)C_n^kp^kq^{n-k}\\ &=\sum_{k=1}^nk(k-1)\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}\\ &=n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n\frac{(n-2)!}{(k-2)!((n-2)-(k-2))!}p^{k-2}q^{(n-2)-(k-2)}\\ &=n(n-1)p^2\sum_{k=2}^nC_{n-2}^kp^{k-2}q^{(n-2)-(k-2)}\\ &=n(n-1)p^2(p+q)^{n-2}\\ &=n(n-1)p^2 \end{aligned} E(X(X−1))​=k=1∑n​k(k−1)pk​=k=1∑n​k(k−1)Cnk​pkqn−k=k=1∑n​k(k−1)k!(n−k)!n!​pkqn−k=n(n−1)p2k=2∑n​(k−2)!((n−2)−(k−2))!(n−2)!​pk−2q(n−2)−(k−2)=n(n−1)p2k=2∑n​Cn−2k​pk−2q(n−2)−(k−2)=n(n−1)p2(p+q)n−2=n(n−1)p2​
那么方均值为E(X2)=E(X(X−1))+E(X)=n(n−1)p2+np=n2−np2+npE(X^2)=E(X(X-1))+E(X)=n(n-1)p^2+np=n^2-np^2+npE(X2)=E(X(X−1))+E(X)=n(n−1)p2+np=n2−np2+np
那么方差D(X)=E(X2)−E2(X)=(n(n−1)−n2)p2+np=np(1−p)=npqD(X)=E(X^2)-E^2(X)=(n(n-1)-n^2)p^2+np=np(1-p)=npqD(X)=E(X2)−E2(X)=(n(n−1)−n2)p2+np=np(1−p)=npq

泊松分布X∼P(λ)X\sim P(\lambda)X∼P(λ)

分布律P(X=k)=λkk!e−λ,λ>0,k=0,1,2,...P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\lambda>0,k=0,1,2,...P(X=k)=k!λk​e−λ,λ>0,k=0,1,2,...

均值E(X)=λE(X)=\lambdaE(X)=λ

E(X)=e−λ∑k=0kλkk!=λe−λ∑k=1λk−1(k−1)!=λe−λ∑k=0λkk!\begin{aligned} E(X)&=e^{-\lambda}\sum_{k=0}k\frac{\lambda ^k}{k!}\\ &=\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\\ &=\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=0}\frac{\lambda^{k}}{k!} \end{aligned}E(X)​=e−λk=0∑​kk!λk​=λe−λk=1∑​(k−1)!λk−1​=λe−λk=0∑​k!λk​​
y=exy=e^xy=ex的麦克劳林展开式为ex=1+x+12!x2+13!x3+...=∑i=0nxii!e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...=\sum_{i=0}^n\frac{x^i}{i!}ex=1+x+2!1​x2+3!1​x3+...=i=0∑n​i!xi​
故∑k=0λkk!=eλ\sum_{k=0}\frac{\lambda^{k}}{k!}=e^\lambdak=0∑​k!λk​=eλ
那么均值为E(X)=λe−λ∑k=0λkk!=λE(X)=\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=0}\frac{\lambda^{k}}{k!}=\lambdaE(X)=λe−λ∑k=0​k!λk​=λ

方差D(X)=λD(X)=\lambdaD(X)=λ

观察到分布律分母上为k!k!k!,直接求方均值不容易求,但是利用二项分布求错位均值的思想可以维持分母的阶乘形式
E(X(X−1))=e−λ∑k=1k(k−1)λkk!=λ2e−λ∑k=2λk−2(k−2)!=λ2e−λ∑k=0ekk!=λ2e−λeλ=λ2\begin{aligned} E(X(X-1))&=e^{-\lambda}\sum_{k=1}k(k-1)\frac{\lambda^k}{k!}\\ &=\lambda^2e^{-\lambda}\sum_{k=2}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}\\ &=\lambda^2e^{-\lambda}\sum_{k=0}\frac{e^k}{k!}\\ &=\lambda^2e^{-\lambda}e^{\lambda}\\ &=\lambda ^2 \end{aligned}E(X(X−1))​=e−λk=1∑​k(k−1)k!λk​=λ2e−λk=2∑​(k−2)!λk−2​=λ2e−λk=0∑​k!ek​=λ2e−λeλ=λ2​
则方均值为E(X2)=E(X(X−1))+E(X)=λ2+λE(X^2)=E(X(X-1))+E(X)=\lambda^2+\lambdaE(X2)=E(X(X−1))+E(X)=λ2+λ
方差为D(X)=E(X2)−E2(X)=λD(X)=E(X^2)-E^2(X)=\lambdaD(X)=E(X2)−E2(X)=λ

几何分布X∼GE(p)X\sim GE(p)X∼GE(p)

分布律P(X=k)=qk−1p(k=1,2,...,p+q=1)P(X=k)=q^{k-1}p\ \ \ \ (k=1,2,...,p+q=1)P(X=k)=qk−1p    (k=1,2,...,p+q=1)

均值E(X)=1pE(X)=\frac{1}{p}E(X)=p1​

E(X)=p∑k=1kqk−1E(X)=p\sum_{k=1}kq^{k-1}E(X)=pk=1∑​kqk−1
令生成函数fn(x)f_n(x)fn​(x)为:
fn(x)=∑nnxn−1f_n(x)=\sum_{n}nx^{n-1}fn​(x)=n∑​nxn−1其中0<x<10<x<10<x<1
则∫fn(x)dx=∑nxn=1(1−xn)1−x=11−x(当0<x<1,lim⁡n→∞xn=0)\int f_n(x)dx=\sum_nx^n=\frac{1(1-x^n)}{1-x}=\frac{1}{1-x}(当0<x<1,\lim_{n\rightarrow \infin }x^n=0)∫fn​(x)dx=n∑​xn=1−x1(1−xn)​=1−x1​(当0<x<1,n→∞lim​xn=0)
那么fn(x)=(∫fn(x)dx)′=(11−x)′=1(1−x)2f_n(x)=(\int f_n(x)dx)'=(\frac{1}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^2}fn​(x)=(∫fn​(x)dx)′=(1−x1​)′=(1−x)21​
令x=qx=qx=q得到:
fn(q)=∑nnqn−1=1(1−q)2=1p2f_n(q)=\sum_nnq^{n-1}=\frac{1}{(1-q)^2}=\frac{1}{p^2}fn​(q)=n∑​nqn−1=(1−q)21​=p21​
故E(X)=p∑k=1kqk−1=p×1p2=1pE(X)=p\sum_{k=1}kq^{k-1}=p\times\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}E(X)=pk=1∑​kqk−1=p×p21​=p1​

方差D(X)=1−pp2D(X)=\frac{1-p}{p^2}D(X)=p21−p​

E((X+1)X)=p∑k=0(k+1)kqk−1E((X+1)X)=p\sum_{k=0}(k+1)kq^{k-1}E((X+1)X)=pk=0∑​(k+1)kqk−1

令生成函数fn(x)=∑n(n+1)nxn−1f_n(x)=\sum_n(n+1)nx^{n-1}fn​(x)=n∑​(n+1)nxn−1

则∫fn(x)dx=∫(∑n(n+1)nxn−1)dx=∑n∫(n+1)nxn−1dx=∑n(n+1)xn\int f_n(x)dx=\int (\sum_{n}(n+1)nx^{n-1})dx=\sum_n\int(n+1)nx^{n-1}dx=\sum_{n}(n+1)x^n∫fn​(x)dx=∫(n∑​(n+1)nxn−1)dx=n∑​∫(n+1)nxn−1dx=n∑​(n+1)xn

∫(∫fn(x)dx)dx=∑nxn+1=x(1−xn)1−x=x1−x\begin{aligned} \int(\int f_n(x)dx)dx&=\sum_nx^{n+1}\\ &=\frac{x(1-x^n)}{1-x}\\ &=\frac{x}{1-x} \end{aligned}∫(∫fn​(x)dx)dx​=n∑​xn+1=1−xx(1−xn)​=1−xx​​

∫fn(x)dx=(x1−x)′=1(1−x)2\int f_n(x)dx=(\frac{x}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^2}∫fn​(x)dx=(1−xx​)′=(1−x)21​

fn(x)=(1(1−x)2)′=−2(x−1)3=2(1−x)3f_n(x)=(\frac{1}{(1-x)^2})'=-\frac{2}{(x-1)^3}=\frac{2}{(1-x)^3}fn​(x)=((1−x)21​)′=−(x−1)32​=(1−x)32​

令x=qx=qx=q得到:
fn(q)=∑k(k+1)kqk−1=2(1−q)3=2p3f_n(q)=\sum_k(k+1)kq^{k-1}=\frac{2}{(1-q)^3}=\frac{2}{p^3}fn​(q)=k∑​(k+1)kqk−1=(1−q)32​=p32​

E((X+1)X)=p∑k=0(k+1)kqk−1=2pp3=2p2E((X+1)X)=p\sum_{k=0}(k+1)kq^{k-1}=\frac{2p}{p^3}=\frac{2}{p^2}E((X+1)X)=pk=0∑​(k+1)kqk−1=p32p​=p22​

E(X2)=E((X+1)X)−E(X)=2p2−1pE(X^2)=E((X+1)X)-E(X)=\frac{2}{p^2}-\frac{1}{p}E(X2)=E((X+1)X)−E(X)=p22​−p1​

D(X)=E(X2)−E2(X)=(2p2−1p)−1p2=1−pp2D(X)=E(X^2)-E^2(X)=(\frac{2}{p^2}-\frac{1}{p})-\frac{1}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}D(X)=E(X2)−E2(X)=(p22​−p1​)−p21​=p21−p​

超几何分布X∼H(n,M,N)X\sim H(n,M,N)X∼H(n,M,N)

分布律P(X=k)=CMkCN−Mn−kCNn,k=0,1,...,min(M,n)P(X=k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},k=0,1,...,min(M,n)P(X=k)=CNn​CMk​CN−Mn−k​​,k=0,1,...,min(M,n)

意义:N个球中有M个黑球,N-M个红球,从中随意挑出n个不放回,挑出k个黑球的概率

均值E(X)=nMNE(X)=\frac{nM}{N}E(X)=NnM​

首先证明一个引理:
Cnk=nkCn−1k−1C_n^k=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}Cnk​=kn​Cn−1k−1​
证明:
左侧=Cnk=n!k!(n−k)!=nk(n−1)!(k−1)!((n−1)−(k−1))!=nkCn−1k−1=右侧左侧=C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n}{k}\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}=右侧左侧=Cnk​=k!(n−k)!n!​=kn​(k−1)!((n−1)−(k−1))!(n−1)!​=kn​Cn−1k−1​=右侧
该引理在证明超几何分布均值中的应用
令m=min(M,n)m=min(M,n)m=min(M,n)即每次模球时保证有黑球
E(X)=∑k=0mkpk=∑k=0mkCMkCN−Mn−kCNn=∑k=1mkMkCM−1k−1C(N−1)−(M−1)(n−1)−(k−1)NnCN−1n−1=nMN∑k=1mCM−1k−1C(N−1)−(M−1)(n−1)−(k−1)CN−1n−1=nMN∑k=0m−1pk(从M−1个黑球,N−M个红球中挑出n个不放回,黑球数为1,2,...,M−1的全概率显然为1)=nMN\begin{aligned} E(X)&=\sum_{k=0}^mkp_k\\ &=\sum_{k=0}^mk\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\\ &=\sum_{k=1}^{m}k\frac{\frac{M}{k}C_{M-1}^{k-1}C_{(N-1)-(M-1)}^{(n-1)-(k-1)}}{\frac{N}{n}C_{N-1}^{n-1}}\\ &=\frac{nM}{N}\sum_{k=1}^m\frac{C_{M-1}^{k-1}C_{(N-1)-(M-1)}^{(n-1)-(k-1)}}{C_{N-1}^{n-1}}\\ &=\frac{nM}{N}\sum_{k=0}^{m-1}p_k(从M-1个黑球,N-M个红球中挑出n个不放回,黑球数为1,2,...,M-1的全概率显然为1)\\ &=\frac{nM}{N} \end{aligned} E(X)​=k=0∑m​kpk​=k=0∑m​kCNn​CMk​CN−Mn−k​​=k=1∑m​knN​CN−1n−1​kM​CM−1k−1​C(N−1)−(M−1)(n−1)−(k−1)​​=NnM​k=1∑m​CN−1n−1​CM−1k−1​C(N−1)−(M−1)(n−1)−(k−1)​​=NnM​k=0∑m−1​pk​(从M−1个黑球,N−M个红球中挑出n个不放回,黑球数为1,2,...,M−1的全概率显然为1)=NnM​​

连续型

设概率密度函数为f(x)f(x)f(x)
E(X)=∫−∞+∞xf(x)dxE(X)=\int_{-\infin}^{+\infin}xf(x)\,dx E(X)=∫−∞+∞​xf(x)dx

D(X)=∫−∞+∞(x−E(X))2f(x)dxD(X)=\int_{-\infin}^{+\infin}(x-E(X))^2f(x)\,dx D(X)=∫−∞+∞​(x−E(X))2f(x)dx

均匀分布X∼U(a,b)X\sim U(a,b)X∼U(a,b)

概率密度:f(x)={1b−a,a<x≤b0,x≤a或x>bf(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},a<x≤b\\0,x≤a或x>b\end{cases}f(x)={b−a1​,a<x≤b0,x≤a或x>b​

均值E(X)=a+b2E(X)=\frac{a+b}{2}E(X)=2a+b​

E(X)=∫abxb−adx=a+b2E(X)=\int _{a}^{b}\frac{x}{b-a}\,dx=\frac{a+b}{2} E(X)=∫ab​b−ax​dx=2a+b​

方差D(X)=(b−a)212D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}D(X)=12(b−a)2​

D(X)=∫ab(x−a+b2)21b−adx=(b−a)212D(X)=\int_{a}^{b}(x-\frac{a+b}{2})^2\frac{1}{b-a}\,dx=\frac{(b-a)^2}{12} D(X)=∫ab​(x−2a+b​)2b−a1​dx=12(b−a)2​

正态分布X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)

概率密度f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,−∞<x<+∞f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infin<x<+\infinf(x)=2π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​,−∞<x<+∞

均值E(X)=μE(X)=\muE(X)=μ

E(X)=12πσ∫−∞+∞xe−(x−μ)22σ2dx=12πσ(−σ2∫−∞+∞d(e−(x−μ)22σ2)+μ∫−∞+∞e−t22σ2dt)=μ2πσ∫−∞+∞e−t22σ2dt\begin{aligned} E(X)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infin}^{+\infin}xe^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}(-\sigma^2\int_{-\infin}^{+\infin}d(e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}})+\mu\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}dt)\\ &=\frac{\mu}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2\sigma ^2}dt} \end{aligned} E(X)​=2π​σ1​∫−∞+∞​xe−2σ2(x−μ)2​dx=2π​σ1​(−σ2∫−∞+∞​d(e−2σ2(x−μ)2​)+μ∫−∞+∞​e−2σ2t2​dt)=2π​σμ​∫−∞+∞​e−2σ2t2​dt​
∫−∞+∞eax2dx=(∫−∞+∞eax2dx)2=∫−∞+∞eax2dx∫−∞+∞eay2dy=∬ea(x2+y2)dxdy=∫02πdθ∫0∞eaρ2ρdρ=π∫0∞eaρ2dρ2=πa∫0∞deaρ2\begin{aligned} &\int_{-\infin}^{+\infin}e^{ax^2}dx\\ &=\sqrt{(\int_{-\infin}^{+\infin}e^{ax^2}dx)^2}\\ &=\sqrt{\int_{-\infin}^{+\infin}e^{ax^2}dx\int_{-\infin}^{+\infin}e^{ay^2}dy}\\ &=\sqrt{\iint e^{a(x^2+y^2)}dxdy}\\ &=\sqrt{\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_0^{\infin}e^{a\rho^2}\rho d\rho}\\ &=\sqrt{\pi\int_0^{\infin}e^{a\rho^2}d\rho^2}\\ &=\sqrt{\frac{\pi}{a}\int_0^{\infin}de^{a\rho^2}} \end{aligned} ​∫−∞+∞​eax2dx=(∫−∞+∞​eax2dx)2​=∫−∞+∞​eax2dx∫−∞+∞​eay2dy​=∬ea(x2+y2)dxdy​=∫02π​dθ∫0∞​eaρ2ρdρ​=π∫0∞​eaρ2dρ2​=aπ​∫0∞​deaρ2​​
当a<0a<0a<0得到−πa\sqrt{-\frac{\pi}{a}}−aπ​​
令a=−12σ2a=-\frac{1}{2\sigma^2}a=−2σ21​得到:
∫−∞+∞e−12σ2x2dx=−π×(−2σ2)=2πσ\int _{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}x^2}dx=\sqrt{-\pi\times(-2\sigma^2)}=\sqrt{2\pi}\sigma ∫−∞+∞​e−2σ21​x2dx=−π×(−2σ2)​=2π​σ
E(X)=μ2πσ∫−∞+∞e−t22σ2dt=μ\begin{aligned} E(X)&=\frac{\mu}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2\sigma ^2}dt}=\mu \end{aligned} E(X)​=2π​σμ​∫−∞+∞​e−2σ2t2​dt=μ​

方差D(X)=σ2D(X)=\sigma^2D(X)=σ2

D(X)=E((X−E(X))2)=∫−∞+∞(x−μ)2f(x)dx=∫−∞+∞(x−μ)212πσe−(x−μ)22σ2dx\begin{aligned} D(X)&=E((X-E(X))^2)\\ &=\int_{-\infin}^{+\infin}(x-\mu)^2f(x)dx\\ &=\int_{-\infin}^{+\infin}(x-\mu)^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \end{aligned} D(X)​=E((X−E(X))2)=∫−∞+∞​(x−μ)2f(x)dx=∫−∞+∞​(x−μ)22π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​dx​
令t=x−μσt=\frac{x-\mu}{\sigma}t=σx−μ​
∫−∞+∞(x−μ)212πσe−(x−μ)22σ2dx=12πσ∫−∞+∞σ2t2e−t22σdt=σ22π∫−∞+∞t2e−t22dt=σ22π∫−∞+∞t2e−t22dt2=−σ22π∫−∞+∞td(e−t22)=−σ22π(td−t22∣−∞+∞−∫−∞+∞e−t22dt)=σ22π∫−∞+∞e−t22dt\begin{aligned} &\int_{-\infin}^{+\infin}(x-\mu)^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infin}^{+\infin}\sigma^2t^2e^{-\frac{t^2}{2}}\sigma dt\\ &=\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}t^2e^{-\frac{t^2}{2}}dt\\ &=\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{t}{2}e^{-\frac{t^2}{2}}dt^2\\ &=-\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}td(e^{-\frac{t^2}{2}})\\ &=-\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}(td^{-\frac{t^2}{2}}|_{-\infin}^{+\infin}-\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)\\ &=\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{aligned} ​∫−∞+∞​(x−μ)22π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​dx=2π​σ1​∫−∞+∞​σ2t2e−2t2​σdt=2π​σ2​∫−∞+∞​t2e−2t2​dt=2π​σ2​∫−∞+∞​2t​e−2t2​dt2=−2π​σ2​∫−∞+∞​td(e−2t2​)=−2π​σ2​(td−2t2​∣−∞+∞​−∫−∞+∞​e−2t2​dt)=2π​σ2​∫−∞+∞​e−2t2​dt​
又
∫−∞+∞eax2dx=πa∫0∞deaρ2==−πa,a<0\begin{aligned} &\int_{-\infin}^{+\infin}e^{ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}\int_0^{\infin}de^{a\rho^2}}= \end{aligned}=\sqrt{-\frac{\pi}{a}},a<0 ​∫−∞+∞​eax2dx=aπ​∫0∞​deaρ2​=​=−aπ​​,a<0
令a=−12a=-\frac{1}{2}a=−21​得到
∫−∞+∞e−t22dt=−π×(−2)=2π\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{-\pi\times(-2)}=\sqrt{2\pi} ∫−∞+∞​e−2t2​dt=−π×(−2)​=2π​
故方差为
D(X)=σ22π∫−∞+∞e−t22dt=σ2D(X)=\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sigma^2 D(X)=2π​σ2​∫−∞+∞​e−2t2​dt=σ2

指数分布X∼E(λ)X\sim E(\lambda)X∼E(λ)

概率密度f(x)={λe−λx,x≥00,x<0f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},x≥0\\0,x<0\end{cases}f(x)={λe−λx,x≥00,x<0​

均值E(X)=1λE(X)=\frac{1}{\lambda}E(X)=λ1​

E(X)=λ∫0+∞xe−λxdxE(X)=\lambda\int_{0}^{+\infin}xe^{-\lambda x}dx\\ E(X)=λ∫0+∞​xe−λxdx
令t=−λxt=-\lambda xt=−λx
E(X)=−1λ∫−∞0tetdt=−1λ(t−1)et∣−∞0=1λ\begin{aligned} E(X)&=-\frac{1}{\lambda}\int_{-\infin}^0 te^t\,dt\\ &=-\frac{1}{\lambda}(t-1)e^t|_{-\infin}^0\\ &=\frac{1}{\lambda} \end{aligned} E(X)​=−λ1​∫−∞0​tetdt=−λ1​(t−1)et∣−∞0​=λ1​​

方差D(X)=1λ2D(X)=\frac{1}{\lambda^2}D(X)=λ21​

方均值
E(X2)=λ∫0+∞x2e−λxdx=1λ2∫−∞0t2etdt=1λ2(t2−2t+2)et∣−∞0=2λ2E(X^2)=\lambda\int_0^{+\infin}x^2e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda^2}\int_{-\infin}^0 t^2e^tdt=\frac{1}{\lambda^2}(t^2-2t+2)e^{t}|_{-\infin}^0=\frac{2}{\lambda^2} E(X2)=λ∫0+∞​x2e−λxdx=λ21​∫−∞0​t2etdt=λ21​(t2−2t+2)et∣−∞0​=λ22​
方差
D(X)=E(X2)−E2(X)=1λ2D(X)=E(X^2)-E^2(X)=\frac{1}{\lambda ^2} D(X)=E(X2)−E2(X)=λ21​

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