清华大学公开课线性代数2——第8讲：图和网络

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目录
- 简介
  - 欧姆定律Ohms law的向量形式
- 图与矩阵
  - 关联矩阵incidence matrix
  - 邻接矩阵adjacency matrix
  - 拉普拉斯矩阵laplacian matrix
- 网络和加权Laplacian矩阵
  - 电路相关的物理定律
  - 例子
    - 不接外部源
  - 接外部源
  - 带权KATCA
- 关联矩阵的四个基本子空间
  - NA
  - CA
  - NAT
  - CAT
  - 总结
  - 注计
    - NBCA
  - 欧拉公式Eulers formula

笔记源自：清华大学公开课：线性代数2——第8讲：图和网络

这门公开课参考教材：Gilbert Strang, Introduction to linear algebra, Wellesley-Cambridge Press,2016 ，本讲源自此书的第十章

提示：如果文中图片看不清文字，请右键单击鼠标，选择在新窗口打开图片，然后放大图片（这边上传之前都是可以看清的，由于网页正文部分大小固定，因此图片被自动缩小以便适配网页），截图部分是课堂ppt老师随手的板书。

简介

欧姆定律Ohm’s law的向量形式

图与矩阵

关联矩阵incidence matrix

邻接矩阵adjacency matrix

拉普拉斯矩阵laplacian matrix

注：半正定证明与刚度矩阵类似

网络和加权Laplacian矩阵

电路相关的物理定律

例子

不接外部源

接外部源

带权K=ATCAK=ATCAK=A^TCA

关联矩阵的四个基本子空间

N(A)

C(A)

按C(A)C(A)C(A)的定义得：C(A)={Ax|x∈Rn}C(A)={Ax|x∈Rn}C(A)=\{Ax|x\in R^n\} 。沿用前面使用的字母：uuu是各点电势，e" role="presentation">eee是各边电势差，Au=eAu=eAu=e ，当Au=eAu=eAu=e 有解 ⇔e∈C(A)⇔e∈C(A)\Leftrightarrow e \in C(A)

去证明：dim(C(A))=n−1dim(C(A))=n−1dim(C(A))=n-1 ，即AAA 的任意 n−1" role="presentation">n−1n−1n-1个列向量是线性无关的。设A=(a1,a2,...,an)A=(a1,a2,...,an)A=(a_1,a_2,\,...\,,a_n) ，不妨假设a1,a2,...,an−1a1,a2,...,an−1a_1,a_2,\,...\,,a_{n-1}线性相关，那么存在c1,c2,...,cn−1∈Rc1,c2,...,cn−1∈Rc_1, c_2,\,...\,,c_{n-1} \in R 且不全为0满足：c1a1+c2a2+...+cn−1an−1+0an=0⇒A⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜c1c2...cn−10⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=0⇒⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜c1c2...cn−10⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∈N(A),c1a1+c2a2+...+cn−1an−1+0an=0⇒A(c1c2...cn−10)=0⇒(c1c2...cn−10)∈N(A),c_1a_1+c_2a_2+...+c_{n-1}a_{n-1}+0a_n=0\Rightarrow A\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\.\\.\\.\\c_{n-1}\\0\end{pmatrix}={0}\Rightarrow \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\.\\.\\.\\c_{n-1}\\0\end{pmatrix}\in N(A), 但与N(A)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1...1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟∣∣∣c∈R⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪N(A)={c(1...1)|c∈R}N(A)=\left\{c\begin{pmatrix}1\\.\\.\\.\\1\end{pmatrix} \Bigg| c\in R \right\} 矛盾，以此类推，得以证明C(A)C(A)C(A)的维数是n−1n−1n-1 ，即AAA的任意n−1" role="presentation">n−1n−1n-1个列向量均可作为C(A)C(A)C(A)的一组基。
发现矩阵中对应的回路：e∈C(A)e∈C(A)e\in C(A) 如下等式有解 Au=e⇒⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜−1−100010−1−100110−100011⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜u1u2u3u4u5⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜e1e2e3e4e5⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪−u1+u2=e1−u1+u3=e2−u2+u3=e3−u2+u4=e4−u3+u4=e5⇒{e1−e2+e3=0e3−e4+e5=0Au=e⇒(−1100−10100−1100−10100−11)(u1u2u3u4u5)=(e1e2e3e4e5)⇒{−u1+u2=e1−u1+u3=e2−u2+u3=e3−u2+u4=e4−u3+u4=e5⇒{e1−e2+e3=0e3−e4+e5=0Au=e\Rightarrow \begin{pmatrix}-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\0&-1&1&0\\0&-1&0&1\\0&0&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\\u_5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e_1\\e_2\\e_3\\e_4\\e_5 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases}-u_1+u_2=e_1\\-u_1+u_3=e_2\\-u_2+u_3=e_3\\-u_2+u_4=e_4\\-u_3+u_4=e_5\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}e_1-e_2+e_3=0\\e_3-e_4+e_5=0\end{cases} ，即边1,2,3这3条边电势差之和为0，由图上可得边1,2,3恰好构成一个回路，边3,4,5也一样。这恰好是Kirchholff Voltage Law (KVL)。把这两个回路等式书写成矩阵形式(10−10110−101)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜e1e2e3e4e5⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟=0(1−1100001−11)(e1e2e3e4e5)=0\begin{pmatrix}1&-1&1&0&0\\0&0&1&-1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e_1\\e_2\\e_3\\e_4\\e_5 \end{pmatrix}=0 . 此时称矩阵B=(10−10110−101)B=(1−1100001−11)B =\begin{pmatrix}1&-1&1&0&0\\0&0&1&-1&1 \end{pmatrix} 为回路矩阵，可以看到它的每一行代表一个回路且称为极小回路，每一列代表一条边。如果边的方向是逆时针方向则取为正号，否则取为负号。注意，此时e∈N(B)e∈N(B)e\in N(B)。
此外，BA=(10−10110−101)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜−1−100010−1−100110−100011⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟=(00000000)BA=(1−1100001−11)(−1100−10100−1100−10100−11)=(00000000)BA=\begin{pmatrix}1&-1&1&0&0\\0&0&1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\0&-1&1&0\\0&-1&0&1\\0&0&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}即C(A)⊆N(B)C(A)⊆N(B)C(A) \subseteq N(B) 。dim(N(B))=3,dim(C(A))=3dim(N(B))=3,dim(C(A))=3dim(N(B))=3, dim(C(A))=3，因此C(A)C(A)C(A)就构成了N(B)N(B)N(B)的基。从理意义角度理解：AAA矩阵执行的操作表示求解各边电势之差，B" role="presentation">BBB各行刚好是回路，由KVLKVLKVL定律得结果必为0.

N(AT)N(AT)N(A^T)

由定义得：N(AT)={y∈Rm|ATy=0}N(AT)={y∈Rm|ATy=0}N(A^T)=\{y\in R^m|A^Ty=0\}。例子中，关联矩阵AAA 各行代表一条边，各列代表一个顶点。那么AT" role="presentation">ATATA^T 的行代表顶点，列代表边。
ATy=0⇒⎛⎝⎜⎜⎜−1100−10100−1100−10100−11⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜y1y2y3y4y5⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜00000⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−y1−y2=0y1−y3−y4=0y2+y3−y5=0y4+y5=0ATy=0⇒(−1−100010−1−100110−100011)(y1y2y3y4y5)=(00000)⇒{−y1−y2=0y1−y3−y4=0y2+y3−y5=0y4+y5=0A^Ty=0\Rightarrow\begin{pmatrix}-1&-1&0&0&0\\1&0&-1&-1&0\\0&1&1&0&-1\\0&0&0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\\y_4\\y_5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases}-y_1-y_2=0\\y_1-y_3-y_4=0\\y_2+y_3-y_5=0\\y_4+y_5=0\end{cases}
物理意义解读：yiyiy_i是各第iii边上的电流，上述等式表明每一个顶点输入输出电流和为0，即Kichhoff Current Law (KCL)。
ATy=0" role="presentation">ATy=0ATy=0A^Ty=0，由前文得到：
BA=0⇒ATBT=0⇒ATBT=⎛⎝⎜⎜⎜−1100−10100−1100−10100−11⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1−1100001−11⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜00000000⎞⎠⎟⎟⎟BA=0⇒ATBT=0⇒ATBT=(−1−100010−1−100110−100011)(10−10110−101)=(00000000)BA=0 \Rightarrow A^TB^T=0 \Rightarrow A^TB^T=\begin{pmatrix}-1&-1&0&0&0\\1&0&-1&-1&0\\0&1&1&0&-1\\0&0&0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\\1&1\\0&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&0\\0&0\end{pmatrix}
因此，C(BT)⊆N(AT)C(BT)⊆N(AT)C(B^T) \subseteq N(A^T)。由于r(A)=C(A)=r=n−1,N(AT)+C(A)=m,N(AT)=m−r=5−3=2r(A)=C(A)=r=n−1,N(AT)+C(A)=m,N(AT)=m−r=5−3=2r(A)=C(A)=r=n-1, N(A^T)+C(A)=m, N(A^T)=m-r=5-3=2，由于BTBTB^T的列向量线性无关，即BBB的行向量代表回路，那么回路向量就是N(AT)" role="presentation">N(AT)N(AT)N(A^T)的一组基。

C(AT)C(AT)C(A^T)

总结

N(Am×n)N(Am×n)N(A_{m\times n})零空间 Au=0Au=0Au=0 ，N(A)=c(1,1,...,1)Tn×1N(A)=c(1,1,...,1)Tn×1N(A)=c{(1,1,\,...\,,1)^T}_{n\times 1} ；物理意义：各点电势相等，电势差为0。
C(Am×n)C(Am×n)C(A_{m\times n})列空间 Au=eAu=eAu=e(上文用的是x, b)，AAA 中任意n−1" role="presentation">n−1n−1n-1 列构成了C(A)C(A)C(A) 的一组基；物理意义每个极小回路电势守恒，每个极小回路构成的极大回路电势依然守恒，诠释了KVL定律。
N(AT)N(AT)N(A^T)左零空间 ATy=0ATy=0A^Ty=0，回路向量构成了N(AT)N(AT)N(A^T) 的一组基；诠释了无外部电流源的KCL定律。
C(AT)C(AT)C(A^T)行空间，ATy=fATy=fA^Ty=f，每个极大树子图对应关联矩阵的行向量（即边）构成了C(AT)C(AT)C(A^T) 的一组基；诠释了有外部电流源的KCL定律。

注计

N(B)=C(A)

B的零空间中的任何一个向量，它都要属于A的列空间，AAA的列空间中的每一个向量的特点，比如说A" role="presentation">AAA乘上一个x1x1x_1到xnxnx_n，x1x1x_1到xnxnx_n是nnn个顶点的电势。A" role="presentation">AAA乘上这个向量得到的是各个边上的电势差，那么相应的xj−xkxj−xkx_j-x_k就是jjj和k" role="presentation">kkk两个顶点上的电势差，顶点连线，jjj和k" role="presentation">kkk连线的边上的电势差。那么我们要想说明，N（B）中的向量属于C（A）那么我们只要说明任何一个向量属于B的零空间，它最后都能写成这样一种形式，就可以了。那么设eee属于N(B)" role="presentation">N(B)N(B)N(B)，那么我们可以取定这个连通图的一个极大树子图，然后在这个极大树子图TTT上取一个顶点作为基点，那么任意的另外一个顶点K" role="presentation">KKK跟这个基点之间它们连线的路在TTT上只有一条这样的路，因为T" role="presentation">TTT是一个树，它不可能有回路，所以在TTT中有唯一的一条连接K到基点的路。定义K的电势：在这条路上各边的电势之和，各边的电势之和，我们这个e1" role="presentation">e1e1e_1到ememe_m呢，我们可以刻画各个边上的电势，那么我们可以看到eee属于N(B)" role="presentation">N(B)N(B)N(B)我们实际上可以检查出任意边上的电势差实际上是ejeje_j等ukuku_k减u1u1u_1，那么其中的这个kkk呢为j的起点，l" role="presentation">lll为jjj的终点，最后我们就可以得到e=−Au" role="presentation">e=−Aue=−Aue=-Au，所以eee就属于C(A)" role="presentation">C(A)C(A)C(A)就是这个地方呢，我们要使用eee属于N(B)" role="presentation">N(B)N(B)N(B)，我们才能检查出：任意边上的这个电势差等于ukuku_k减ululu_l，就是要满足科尔霍夫电压定律。

欧拉公式Euler’s formula

对于Bx×m⇒C(BT)+dim(N(B))=rB+dim(N(B))=m⇒m−rB=dim(N(B))=dim(C(A))=n−1Bx×m⇒C(BT)+dim(N(B))=rB+dim(N(B))=m⇒m−rB=dim(N(B))=dim(C(A))=n−1B_{x \times m}\Rightarrow C(B^T)+dim(N(B))=r_B+dim(N(B))=m\Rightarrow m-r_B=dim(N(B))=dim(C(A))=n-1

又因为欧拉公式：m−l=n−1m−l=n−1m-l=n-1，得：rB=lrB=lr_B=l，即BB<script type="math/tex" id="MathJax-Element-104">B</script>是行满秩的，其实极小回路组对应极大线性无关组。