模糊数学学习笔记 6：模糊综合评判

文章目录

1. 一级模糊综合评判
2. 多级模糊综合评判

假如我们现在设计了一种服装，想要调研一下这种服装的受欢迎程度，该怎么办呢？

首先是怎么表示受欢迎程度呢？我们可以简单分为三个等级：受欢迎、一般欢迎、不受欢迎，由于不同的人感受可能不同，结合前面模糊集的概念，我们可以引入隶属度，比如调查后得到 50% 的人喜欢，30%一般，20%不喜欢，我们就可以取隶属度分别为 0.5，0.3，0.2。

当然这样太粗糙了，我们知道评价一个衣服的因素有很多，比如样式、耐穿性、价格等，而不同因素即使对同一个人的值观感受也是不一样的，比如有的人很喜欢这个样式，但是摸了摸钱包，发现这个衣服是这么的难看！所以要想更好的评价，我们需要对每一个指标分别评估一下受欢迎程度，然后把各种因素综合起来。这就是模糊综合评判要做的事情。

1. 一级模糊综合评判

现在我们把上面描述的过程规范化。我们有因素集 U={u1,...,un}U=\{u_1,...,u_n\}U={u1,...,un}，评语集 V={v1,...,vm}V=\{v_1,...,v_m\}V={v1,...,vm}。

综合评判的步骤是什么呢？

首先要对每个因素分别进行单因素评判，也就是获得 ri=(ri1,⋯,rim)r_i = (r_{i1},\cdots,r_{im})ri=(ri1,⋯,rim)
然后把 nnn 个因素的评判指标拼接成一个 n×mn\times mn×m 的矩阵，可以获得综合评判矩阵 R=(r1T,⋯,rnT)TR=(r_1^T,\cdots,r_n^T)^TR=(r1T,⋯,rnT)T
之后需要对所有因素进行综合评判，因此可以设置一个权重 A=(a1,...,an)A=(a_1,...,a_n)A=(a1,...,an)，再根据算子 M(⋅,⋅)M(\cdot,\cdot)M(⋅,⋅) 计算 B=A∘R=M(A,R)B=A\circ R=M(A,R)B=A∘R=M(A,R)，这个过程实际上就类似于一个加权的过程
上一步结束后实际上得到的还是一个向量，要想最后给一个总的评价指标，可以对该向量再进行一次加权或者其他操作，获得一个总的指标。

下面我对第 3，4 条再详细解释一下。

算子 M(⋅,⋅)M(\cdot,\cdot)M(⋅,⋅) 可以取很多种形式，比如

M(∧,∨)⟹bj=max⁡{(ai∧rij),1≤i≤n}(j=1,2,⋯,m)M(\wedge,\vee) \Longrightarrow \boldsymbol{b}_{j}=\max \left\{\left(\boldsymbol{a}_{i} \wedge \boldsymbol{r}_{i j}\right), \mathbf{1} \leq \boldsymbol{i} \leq \boldsymbol{n}\right\}(\boldsymbol{j}=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \cdots, \boldsymbol{m})M(∧,∨)⟹bj=max{(ai∧rij),1≤i≤n}(j=1,2,⋯,m)
M(⋅,∨)⟹bj=max⁡{(ai⋅rij),1≤i≤n}(j=1,2,⋯,m)M(\cdot,\vee) \Longrightarrow \boldsymbol{b}_{j}=\max \left\{\left(\boldsymbol{a}_{i} \cdot \boldsymbol{r}_{i j}\right), \mathbf{1} \leq \boldsymbol{i} \leq \boldsymbol{n}\right\}(\boldsymbol{j}=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \cdots, \boldsymbol{m})M(⋅,∨)⟹bj=max{(ai⋅rij),1≤i≤n}(j=1,2,⋯,m)
M(⋅,+)⟹bj=∑i(ai⋅rij),(j=1,2,⋯,m)M(\cdot,+) \Longrightarrow \boldsymbol{b}_{j}=\sum_i \left(\boldsymbol{a}_{i} \cdot\boldsymbol{r}_{i j}\right), (\boldsymbol{j}=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \cdots, \boldsymbol{m})M(⋅,+)⟹bj=∑i(ai⋅rij),(j=1,2,⋯,m)
M(∧,⨁)=bj=min⁡{1,∑i=1n(ai∧rij)}(j=1,2,⋯,m)M(\wedge,\bigoplus)=\boldsymbol{b}_{j}=\min \left\{1, \sum_{i=1}^{n}\left(a_{i} \wedge r_{i j}\right)\right\}(j=1,2, \cdots, m)M(∧,⨁)=bj=min{1,∑i=1n(ai∧rij)}(j=1,2,⋯,m)
M(∧,+)⟹bj=∑i(ai∧rijr0),(j=1,2,⋯,m),r0=∑krkjM(\wedge,+) \Longrightarrow \boldsymbol{b}_{j}=\sum_i \left(\boldsymbol{a}_{i} \wedge\frac{\boldsymbol{r}_{i j}}{r_0}\right), (\boldsymbol{j}=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \cdots, \boldsymbol{m}),r_0=\sum_k r_{kj}M(∧,+)⟹bj=∑i(ai∧r0rij),(j=1,2,⋯,m),r0=∑krkj

不同的算子形式有不同特点，也适用于不同情况。

第 3 步经过 M(,)M(,)M(,) 算子之后，我们得到了模糊评判向量 BBB，要获得综合结论也可以有不同的方式

u=max⁡(b1,...,bn)u=\max{(b_1,...,b_n)}u=max(b1,...,bn)
u=∑iμibi/∑ibiu=\sum_i \mu_i b_i / \sum_i b_iu=∑iμibi/∑ibi

2. 多级模糊综合评判

有时候对一件事物的评价有很多指标，这些指标又可以分为几大类，比如对高校的评分，可以包括

教学：教学下面又可以分为师资力量、教学设施、学生质量等等
科研：… 可以有很多指标
图书馆、后勤 …

这个时候我们可以划分为多个层次依此评判综合，其步骤可以描述为以下形式：

将原始因素集 U={u1,...,un}U=\{u_1,...,u_n\}U={u1,...,un} 划分为若干组 U=⋃iUi,Ui∩Uj=∅U=\bigcup_i U_i,U_i\cap U_j=\varnothingU=⋃iUi,Ui∩Uj=∅
对每组 UiU_iUi 分别进行模糊评判，得到 BiB_iBi
对总的评判矩阵 R=(B1T,...,BkT)TR=(B_1^T,...,B_k^T)^TR=(B1T,...,BkT)T 再次进行综合评判，得到 B=A∘RB=A\circ RB=A∘R，然后可以得到总的综合评语

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