用级数进行对数计算，基于ln（x）求loga（b）
泰勒展开式
ln（x+1） =x - x ^ 2 / 2 + x ^ 3 / 3 - x ^ 4 / 4 + …
（|x|<=1,x!=-1）
算法原理
ln（x+1）要求 0<x+1<=2
所以要将一般数作相应变换
ln（x）
分解 x=a*2^b
ln(x)=ln(a)+ln(2^b)=ln(a)+bln(2)
此时a满足 0<a<=2 可以使用级数计算
收敛较慢，可能要循环几百次
代码实现
static final double ln2 = 0.6931471805599453;static final double MINVALUE = 0.0000000000000001;public static double lnTaylor(double x) { if(x<=0) {return Double.NaN;}int pow=0;while(x >= 1d) {x /= 2;pow++;}while(x <= 0.5d) {x *= 2;pow--;}if(Math.abs(x-1)<=MINVALUE) {return pow*ln2;}x=x-1;double y=1;int sign=1;double sum=0;for(int i=1;Math.abs(y)>MINVALUE;i++) {y=y*x;sum +=sign*y/i;sign=-sign;}return pow*ln2+sum;}
快速收敛级数
|x|<=1,x!=-1, y = (x - 1) / (x + 1)
ln（x）= ln（（1+y）/（1-y））
=2 y（ 1 + y ^ 2 / 3 + y ^ 4 / 5 + y ^ 6 / 7 + …）
收敛较快，也就几十次。
代码实现
public static double lnTaylor2(double x) { if(x<=0) {return Double.NaN;}x=(x-1)/(x+1);double x2=x*x;double y=1;double sum=1;for(int i=3;y>MINVALUE;i+=2) {y*=x2;sum+=y/i;}return 2*x*sum;}
测试
double x=10000;System.out.println("value \t"+x);double x1 = Math.log(x);System.out.println("math\t"+x1);double x2 =lnTaylor(x);System.out.println("Taylor\t"+x2);System.out.println( "dif1 \t"+(x1-x2));double x3 =lnTaylor2(x);System.out.println("Taylor2\t"+x3);System.out.println( "dif2 \t"+(x1-x3));
输出
value 10000.0
math 9.210340371976184
Taylor 9.210340371976182
dif1 1.7763568394002505E-15
Taylor2 9.210340371974409
dif2 1.7745804825608502E-12
可见精度是相当高的，误差主要来自浮点运算。
使用对数换低公式求一般对数
loga（b）=ln（b）/ ln（a）
public static double logab(double a,double b) {//使用快速收敛级数提高效率return lnTaylor2(b)/lnTaylor2(a);}
测试
System.out.println("log13(17)");System.out.println("log \t"+Math.log(17)/Math.log(13));System.out.println("log \t"+logab(13,17));
输出
log13(17)
log 1.1045884145097404
log 1.1045884145097404
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