改进欧拉方程求初值（十四）

改进欧拉方程的公式如下：

yp=yn+hf(xn,yn)y_{p}=y_{n}+h f\left(x_{n}, y_{n}\right)yp=yn+hf(xn,yn)
yc=yn+hf(xn+1,yn)y_{c}=y_{n}+h f\left(x_{n+1}, y_{n}\right)yc=yn+hf(xn+1,yn)
yn+1=12(yp+yc)y_{n+1}=\frac{1}{2}\left(y_{p}+y_{c}\right)yn+1=21(yp+yc)

利用改进后的欧拉方程建立M函数文件求解初值。函数文件如下所示：

function [x,y] = adeuler(f,x0,y0,xf,h)
n = fix((xf-x0)/h);
y(1)=y0;
x(1)=x0;
for i=1:nx(i+1) = x0+i*h;yp = y(i) + h*feval(f,x(i),y(i));yc = y(i) + h*feval(f,x(i+1),yp);y(i+1) = (yp+yc)/2;%欧拉公式
end

例求解初值条件{y′=y−2xy(0<x<1)y(0)=1\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=y-\frac{2 x}{y} \quad(0<x<1) \\ y(0)=1\end{array}\right.{y′=y−y2x(0<x<1)y(0)=1

MATLAB的程序如下：

 [x,y] = adeuler('f',0,1,1,0.1)x =1 至 10 列     0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.900011 列1.0000y =1 至 10 列1.0000    1.0959    1.1841    1.2662    1.3434    1.4164    1.4860    1.5525    1.6165    1.678211 列1.7379y1 = (1+2*x).^0.5y1 =1 至 10 列1.0000    1.0954    1.1832    1.2649    1.3416    1.4142    1.4832    1.5492    1.6125    1.673311 列1.7321plot(x,y,x,y1,'--')

图像结果如下所知：

由上面绘制曲线可以看出，改进的欧拉方程解法要比原来的方法优秀，数值解和解析解曲线能够重合。

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