教材

《变分法及其应用——物理、力学、工程中的经典建模》欧斐君高等教育出版社

有限维到无限维

向量中有有限个元素，它们可以进行加法、数乘、定义范数、定义内积、定义夹角。比如，对于向量aaa和bbb，其夹角余弦值为
cos<a,b>=(a,b)∣∣a∣∣⋅∣∣b∣∣cos<a,b> = \frac{(a,b)}{||a|| \cdot ||b||} cos<a,b>=∣∣a∣∣⋅∣∣b∣∣(a,b)

那么，如果把一个向量中的元素数量扩展到无穷，向量就变成了函数，我们尝试仿照向量，对函数定义范数、内积、夹角。首先是内积，它变成了
(f,g)=∫f(x)g(x)dx(f,g) = \int f(x) g(x) dx (f,g)=∫f(x)g(x)dx

有了内积，很容易定义出范数。
∣∣f∣∣=(f,f)=∫f2(x)dx||f|| = \sqrt{(f,f)} = \sqrt{\int f^2(x) dx} ∣∣f∣∣=(f,f)=∫f2(x)dx

以及夹角。
cos<f,g>=(f,g)∣∣f∣∣⋅∣∣g∣∣cos<f,g> = \frac{(f,g)}{||f|| \cdot ||g||} cos<f,g>=∣∣f∣∣⋅∣∣g∣∣(f,g)

有了夹角，我们就可以定义函数的正交，即如果cos<f,g>=0cos<f,g>=0cos<f,g>=0，则函数fff与ggg正交。正交函数族的例子有三角函数（傅里叶分解的基函数），切比雪夫多项式等等。函数在一组两两正交函数ϕi(x)\phi_i(x)ϕi(x)上的投影，被称为广义傅里叶级数。即
f=∑−∞∞ciϕif = \sum_{-\infty}^{\infty} c_i \phi_i f=−∞∑∞ciϕi
其中，
ci=(fi,ϕi)c_i = (f_i, \phi_i) ci=(fi,ϕi)

如果我们只取级数中的NNN项和fNf_NfN作为对fff的逼近，那么就有误差
e=∣∣fN−f∣∣e = || f_N - f || e=∣∣fN−f∣∣
对于这NNN项的基函数，按(fi,ϕi)(f_i, \phi_i)(fi,ϕi)选取cic_ici能让误差最小，因此fNf_NfN是一个最佳逼近。

线性泛函的例子

就像向量函数以向量为自变量，泛函以函数（无限维的向量）为自变量。其映射JJJ为函数空间→R函数空间 \rightarrow R函数空间→R。

最速降线

问题：从(0,0)(0,0)(0,0)到(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1)构建一个光滑斜曲面，使得小球在重力中下降速度最快。

假设曲面的函数为y=y(x)y=y(x)y=y(x)，那么有两端的约束y(0)=0,y(x1)=y1y(0)=0,y(x_1)=y_1y(0)=0,y(x1)=y1；当小球下落到(x,y)(x,y)(x,y)时，按照能量守恒，它的速度为v=2gyv=\sqrt{2gy}v=2gy，取一个微元，斜面长度为1+y′2\sqrt{1+y'^2}1+y′2，因此通过这个微元的时间为
t=1+y′22gyt = \frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}} t=2gy1+y′2
因此通过整个斜面的总时间为
T=∫0x1tdx=∫0x11+y′22gydxT = \int_0^{x_1} t dx = \int_0^{x_1} \frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}} dx T=∫0x1tdx=∫0x12gy1+y′2dx

假设这个斜面是连续的，那么解一定存在于如下的函数空间（C1C^1C1表示一阶连续）：
A={y∣y(x)∈C1(x,y)y(0)=0,y(x1)=y1}A=\left\{ y | \begin{matrix} y(x) \in C^1(x,y) \\ y(0)=0, y(x_1)=y_1 \end{matrix} \right\} A={y∣y(x)∈C1(x,y)y(0)=0,y(x1)=y1}

假设y∗y^*y∗是最后的解，那么我们要求的问题就变成了一个优化问题
y∗=arg⁡min⁡y∈ATy^* = {\arg\min}_{y \in A} T y∗=argminy∈AT

一会儿再考虑如何求解这个方程。

极小曲面问题

问题：求一段通过(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1)和(x2,y2)(x_2,y_2)(x2,y2)的曲线，绕着xxx轴旋转后侧面表面积最小。

首先写出面积公式。按xxx轴分成无数个微元，每个微元都是一个周长为2πy2\pi y2πy，高为1+y′2\sqrt{1+y'^2}1+y′2的长方形，因此总面积为
S=∫x1x22πy1+y′2dxS = \int_{x_1}^{x_2} 2 \pi y \sqrt{1+y'^2} dx S=∫x1x22πy1+y′2dx

然后是解空间，假设曲线二阶连续，则有
A={y∣y(x)∈C2(x,y)y(x1)=y1,y(x2)=y2}A=\left\{ y | \begin{matrix} y(x) \in C^2(x,y) \\ y(x_1)=y_1, y(x_2)=y_2 \end{matrix} \right\} A={y∣y(x)∈C2(x,y)y(x1)=y1,y(x2)=y2}

最后是求解的优化问题，令最优解为y∗y^*y∗，则
y∗=arg⁡min⁡y∈ASy^* = {\arg\min}_{y \in A} S y∗=argminy∈AS

测地线问题

问题：在一个曲面上，求解两点间在曲面上的最短距离。

假设曲面方程为g(x,y,z)=0g(x,y,z)=0g(x,y,z)=0，直线方程为
l={y=y(x)z=z(x)l = \left\{ \begin{matrix} y = y(x) \\ z = z(x) \end{matrix} \right. l={y=y(x)z=z(x)

首先是距离公式。
S=∫x1x21+y′2+z′2dxS = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+y'^2+z'^2} dx S=∫x1x21+y′2+z′2dx

然后是解空间。
A={y∣g(x,y(x),z(x))=0,x∈(x1,x2)g(x1,y1,z1)=0,g(x2,y2,z2)=0}A=\left\{ y | \begin{matrix} g(x, y(x), z(x)) = 0, x \in (x_1,x_2) \\ g(x_1,y_1,z_1)=0, g(x_2,y_2,z_2)=0 \end{matrix} \right\} A={y∣g(x,y(x),z(x))=0,x∈(x1,x2)g(x1,y1,z1)=0,g(x2,y2,z2)=0}

最后是优化问题。
y∗=arg⁡min⁡y∈ASy^* = {\arg\min}_{y \in A} S y∗=argminy∈AS

等周问题

一段长为LLL的线段，如何围成更大的面积。

这是作业，还没完成。

欧拉公式

欧拉公式帮助我们进行具体的求解。

一个引理

设f(x)∈C[x0,x1],η(x)∈C0∞[x1,x2]f(x) \in C[x_0,x_1], \eta(x) \in C_0^{\infty}[x_1,x_2]f(x)∈C[x0,x1],η(x)∈C0∞[x1,x2]，其中C0∞C_0^{\infty}C0∞表示在边界上导数为0，中间无限次可导。如果有
∫x1x2f(x)η(x)dx=0,∀η∈C0∞[x1,x2]\int_{x_1}^{x_2} f(x) \eta(x) dx = 0, \forall \eta \in C_0^{\infty}[x_1,x_2] ∫x1x2f(x)η(x)dx=0,∀η∈C0∞[x1,x2]
则f(x)=0f(x)=0f(x)=0。

证明：反证法。假设f(x0)>0f(x_0)>0f(x0)>0，则有x~1<x0<x~2\tilde{x}_1<x_0<\tilde{x}_2x~1<x0<x~2，在这个区间内，f(x)>0f(x)>0f(x)>0。构造
η(x)={K(x−x~1)2n(x−x~2)2n,x∈(x~1,x~2)0,x∉(x~1,x~2)\eta(x) = \left\{ \begin{matrix} K(x-\tilde{x}_1)^{2n}(x-\tilde{x}_2)^{2n},& x \in (\tilde{x}_1, \tilde{x}_2) \\ 0,& x \notin (\tilde{x}_1, \tilde{x}_2) \end{matrix} \right. η(x)={K(x−x~1)2n(x−x~2)2n,0,x∈(x~1,x~2)x∈/(x~1,x~2)
其中K>0K>0K>0，nnn为正整数，则
∫x1x2f(x)η(x)dx=∫x~1x~2f(x)K(x−x~1)2n(x−x~2)2ndx>0\int_{x_1}^{x_2} f(x) \eta(x) dx = \int_{\tilde{x}_1}^{\tilde{x}_2} f(x) K(x-\tilde{x}_1)^{2n}(x-\tilde{x}_2)^{2n} dx > 0 ∫x1x2f(x)η(x)dx=∫x~1x~2f(x)K(x−x~1)2n(x−x~2)2ndx>0

矛盾。因此引理成立。

基本定理

设泛函J(y)=∫x1x2F(x,y,y′)dxJ(y) = \int_{x_1}^{x_2} F(x,y,y') dxJ(y)=∫x1x2F(x,y,y′)dx，FFF关于x,y,y′x,y,y'x,y,y′连续，且有二阶连续偏导。假设解空间为
A={y∈C2(x1,x2),y(x1)=y1,y(x2)=y2}A = \left\{ \begin{matrix} y \in C^2(x_1,x_2), \\ y(x_1)=y_1, y(x_2)=y_2 \end{matrix} \right\} A={y∈C2(x1,x2),y(x1)=y1,y(x2)=y2}
则y∗y^*y∗满足
Fy−ddxFy′=0F_y - \frac{d}{dx} F_{y'} = 0 Fy−dxdFy′=0
此为欧拉方程。

证明：AAA中任意一个yyy都可以写成y∗+ϵηy^* + \epsilon \etay∗+ϵη的形式，因此
J(y)=∫x1x2F(x,y,y′)dx=∫x1x2F(x,y∗+ϵη,y∗′+ϵη′)dx=Φ(ϵ)J(y) = \int_{x_1}^{x_2} F(x,y,y') dx = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y^* + \epsilon \eta, {y^*}' + \epsilon \eta') dx = \Phi(\epsilon) J(y)=∫x1x2F(x,y,y′)dx=∫x1x2F(x,y∗+ϵη,y∗′+ϵη′)dx=Φ(ϵ)

由于在ϵ=0\epsilon=0ϵ=0时取到最值，因此我们对上式关于ϵ\epsilonϵ求导结果应为000，得到
Φ′(ϵ)=∫x1x2dFdϵdx=∫x1x2dFdxdxdϵ+dFdydydϵ+dFdy′dy′dϵdx=∫x1x20+dFdyη+dFdy′η′dx=∫x1x2dFdyηdx+∫x1x2dFdy′dη=∫x1x2dFdyηdx+dFdy′η∣x1x2−∫x1x2ηddxFy′dx=∫x1x2dFdyηdx−∫x1x2ηddxFy′dx=0→Fy−ddxFy′=0\begin{aligned} \Phi'(\epsilon) &= \int_{x_1}^{x_2} \frac{dF}{d\epsilon} dx = \int_{x_1}^{x_2} \frac{dF}{dx}\frac{dx}{d\epsilon} + \frac{dF}{dy}\frac{dy}{d\epsilon} + \frac{dF}{dy'}\frac{dy'}{d\epsilon} dx \\ &= \int_{x_1}^{x_2} 0 + \frac{dF}{dy}\eta + \frac{dF}{dy'}\eta' dx \\ &= \int_{x_1}^{x_2} \frac{dF}{dy}\eta dx + \int_{x_1}^{x_2} \frac{dF}{dy'} d\eta \\ &= \int_{x_1}^{x_2} \frac{dF}{dy}\eta dx + \frac{dF}{dy'} \eta |_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2} \eta \frac{d}{dx}F_{y'} dx \\ &= \int_{x_1}^{x_2} \frac{dF}{dy}\eta dx - \int_{x_1}^{x_2} \eta \frac{d}{dx}F_{y'} dx = 0 \\ & \rightarrow F_y - \frac{d}{dx} F_{y'} = 0 \end{aligned} Φ′(ϵ)=∫x1x2dϵdFdx=∫x1x2dxdFdϵdx+dydFdϵdy+dy′dFdϵdy′dx=∫x1x20+dydFη+dy′dFη′dx=∫x1x2dydFηdx+∫x1x2dy′dFdη=∫x1x2dydFηdx+dy′dFη∣x1x2−∫x1x2ηdxdFy′dx=∫x1x2dydFηdx−∫x1x2ηdxdFy′dx=0→Fy−dxdFy′=0
其中，第三行到第四行是分部积分，第四行到第五行是因为η(x1)=η(x2)=0\eta(x_1)=\eta(x_2)=0η(x1)=η(x2)=0，第五行到第六行是因为上述引理。

欧拉定理在最速降线的运用

最速下降问题的表达式。
T=∫0x11+y′22gydx=12g∫0x1F(x,y,y′)dxT = \int_0^{x_1} \frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}} dx = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int_0^{x_1} F(x,y,y') dx T=∫0x12gy1+y′2dx=2g1∫0x1F(x,y,y′)dx

求解FyF_yFy和Fy′F_{y'}Fy′。
Fy=−12y−321+y′2Fy′=y−12y′(1+y′2)−12\begin{aligned} F_y &= -\frac{1}{2} y^{-\frac{3}{2}} \sqrt{1+y'^2} \\ F_{y'} &= y^{-\frac{1}{2}} y' (1+y'^2)^{-\frac{1}{2}} \end{aligned} FyFy′=−21y−231+y′2=y−21y′(1+y′2)−21

带入欧拉方程，得到
−12y−321+y′2−ddxy−12y′(1+y′2)−12=0-\frac{1}{2} y^{-\frac{3}{2}} \sqrt{1+y'^2} - \frac{d}{dx} y^{-\frac{1}{2}} y' (1+y'^2)^{-\frac{1}{2}} = 0 −21y−231+y′2−dxdy−21y′(1+y′2)−21=0

化简（参考下一节的第一种退化情况），得到
1+y′2+2yy′′=01 + y'^2 + 2yy'' = 0 1+y′2+2yy′′=0

求解常微分方程，得到
{x=c(u−sin⁡u)y=c(1−cos⁡u)\left\{ \begin{matrix} x = c(u - \sin u) \\ y = c(1 - \cos u) \end{matrix} \right. {x=c(u−sinu)y=c(1−cosu)
其中，ccc由(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1)确定。因此，最速降线为摆线。

（求解常微分方程，这里属于方程中只有yyy的情况，因此令p=y′p=y'p=y′，改造方程为1+p2+2yp′=01+p^2+2yp'=01+p2+2yp′=0，先求ppp，再求xxx）。

常见的欧拉方程的退化情况

第一种，F(x,y,y′)=v(x,y)1+y′2F(x,y,y')=v(x,y)\sqrt{1+y'^2}F(x,y,y′)=v(x,y)1+y′2。这种情况往往是由于需要乘上弦长1+y′2\sqrt{1+y'^2}1+y′2而出现。

应用欧拉方程，得到
vy1+y′2−ddxvy′(1+y′2)−12=0→vy1+y′2−vxy′(1+y′2)−12−vyy′2(1+y′2)−12−vy′′(1+y′2)−32=0→vy−vxy′−vy′′1+y′2=0\begin{aligned} & v_y \sqrt{1+y'^2} - \frac{d}{dx} v y' (1+y'^2)^{-\frac{1}{2}} = 0 \\ \rightarrow & v_y \sqrt{1+y'^2} - v_x y' (1+y'^2)^{-\frac{1}{2}} - v_y y'^2 (1+y'^2)^{-\frac{1}{2}} - v y'' (1+y'^2)^{-\frac{3}{2}}= 0 \\ \rightarrow & v_y - v_xy' - v \frac{y''}{1+y'^2} = 0 \end{aligned} →→vy1+y′2−dxdvy′(1+y′2)−21=0vy1+y′2−vxy′(1+y′2)−21−vyy′2(1+y′2)−21−vy′′(1+y′2)−23=0vy−vxy′−v1+y′2y′′=0
其中，第一行到第二行中，第二项为全积分展开。

第二种，F(x,y,y′)=F(x,y′)F(x,y,y')=F(x,y')F(x,y,y′)=F(x,y′)。

应用欧拉方程，得到
ddxFy′=0→Fy′=c\frac{d}{dx} F_{y'} = 0 \rightarrow F_{y'} = c dxdFy′=0→Fy′=c

第三种，F(x,y,y′)=F(y,y′)F(x,y,y')=F(y,y')F(x,y,y′)=F(y,y′)。

应用欧拉方程，得到
Fy−ddxFy′=0→y′Fy−y′ddxFy′=0→ddx(F−y′Fy′)=0→F−y′Fy′=c\begin{aligned} F_y - \frac{d}{dx} F_{y'} = 0 & \rightarrow y' F_y - y' \frac{d}{dx} F_{y'} = 0 \\ & \rightarrow \frac{d}{dx} \left( F - y' F_{y'} \right) = 0 \\ & \rightarrow F - y' F_{y'} = c \end{aligned} Fy−dxdFy′=0→y′Fy−y′dxdFy′=0→dxd(F−y′Fy′)=0→F−y′Fy′=c

第四种，F(x,y,y′)=F(x,y)F(x,y,y')=F(x,y)F(x,y,y′)=F(x,y)。

应用欧拉方程，得到
Fy=0F_y = 0 Fy=0

第五种，F(x,y,y′)=P(x,y)+Q(x,y)y′F(x,y,y')=P(x,y)+Q(x,y)y'F(x,y,y′)=P(x,y)+Q(x,y)y′。

应用欧拉方程，得到
∂P∂y+∂Q∂yy′−(∂Q∂x+∂Q∂yy′)=0→∂P∂y−∂Q∂x=0\begin{aligned} & \frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial y} y' - \left( \frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} y' \right) = 0 \\ \rightarrow & \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = 0 \end{aligned} →∂y∂P+∂y∂Qy′−(∂x∂Q+∂y∂Qy′)=0∂y∂P−∂x∂Q=0

参考文献