UOJ #449. 【集训队作业2018】喂鸽子

小Z是养鸽子的人。一天，小Z给鸽子们喂玉米吃。一共有n只鸽子，小Z每秒会等概率选择一只鸽子并给他一粒玉米。一只鸽子饱了当且仅当它吃了的玉米粒数量\(≥k\)。 小Z想要你告诉他，期望多少秒之后所有的鸽子都饱了。

假设答案的最简分数形式为\(\frac{a}{b}\)，你需要求出\(w\)，满足\(a≡b⋅w \pmod{998244353}(0≤w<998244353).\)

\(n\leq 50,k\leq 1000\)

Orz

首先可以用\(\min-\max\)反演来解决：

因为\(k\)是固定的，所以每个集合中至少有一个鸽子被喂饱的期望只与集合大小有关。
\[ ans=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}\binom{n}{i}g_i \]
其中\(g_c\)就是至少喂饱\(c\)只鸽子中的一只的期望步数。

我们将期望转成概率：
\[ \begin{align} g_c&=\sum_{i\geq 1}i*P(x=i)\\ &=\sum_{i\geq 1}P(x\geq i)\\ \end{align} \]
设\(f_{c,s}\)表示给\(c\)只鸽子喂食，喂了\(s\)次还没有将任意一只鸽子喂饱的概率。

所以：
\[ \begin{align} g_c&=\sum_{i\geq 1}\sum_{s=0}^{i-1}\binom{i-1}{s}f_{c,s}(\frac{n-c}{n})^{i-1-s}\\ &=\sum_{s=0}^{c(k-1)}f_{c,s}\sum_{t\geq 0}\binom{s+t}{s}(\frac{n-c}{n})^t \end{align} \]
我们知道：
\[ (\frac{1}{1-x})^k=\sum_{i\geq 0}\binom{i+k-1}{k-1} x^i \]
所以：
\[ \begin{align} \sum_{t\geq 0}\binom{s+t}{t}(\frac{n-c}{n})^t&=(\frac{1}{1-\frac{n-c}{n}})^{s+1}\\ &=(\frac{n}{c})^{s+1} \end{align} \]
所以
\[ g_c=\sum_{s=0}^{c(k-1)}f_{c,s}(\frac{n}{c})^{s+1} \]
接着考虑求\(f\)数组。

方法就是新加进来一只鸽子就枚举给这只鸽子喂了多少次食物。
\[ f_{c,s}=\sum_{i=0}^{\min(s,k-1)}\binom{s}{i}\frac{1}{n^i}f_{c-1,s-i}\\ \frac{f_{c,s}}{s!}= \sum_{i=0}^{\min(s,k-1)} \frac{1}{n^ii!} \frac{ f_{c-1,s-i}}{(s-i!)} \\ \]
于是就可以用\(NTT\)算出\(\frac{f_{c,s}}{s!}\)的值了。

复杂度\(O(n^2klog(k))\)

还有个\(O(n^2k)\)的算法就先咕着吧。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 55
#define K 1005using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}const ll mod=998244353;ll ksm(ll t,ll x) {ll ans=1;for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)if(x&1) ans=ans*t%mod;return ans;
}int n,k,m;
int f[N][N*K];
ll fac[N*K],ifac[N*K];
ll C(int n,int m) {return fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;}void NTT(ll *a,int d,int flag) {static int rev[N*K<<2];static ll G=3;int n=1<<d;for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<d-1);for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int s=1;s<=d;s++) {int len=1<<s,mid=len>>1;ll w=flag==1?ksm(G,(mod-1)/len):ksm(G,mod-1-(mod-1)/len);for(int i=0;i<n;i+=len) {ll t=1;for(int j=0;j<mid;j++,t=t*w%mod) {ll u=a[i+j],v=a[i+j+mid]*t%mod;a[i+j]=(u+v)%mod;a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;}}}if(flag==-1) {ll inv=ksm(n,mod-2);for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;}
}ll A[N*K<<2];
ll B[N*K<<2];
ll g[N];int main() {n=Get(),k=Get();m=n*k;int d=ceil(log2(m+1));fac[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;ifac[m]=ksm(fac[m],mod-2);for(int i=m-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;ll invn=ksm(n,mod-2);for(int i=0;i<k;i++) {A[i]=ksm(invn,i)*ifac[i]%mod;}NTT(A,d,1);for(int i=0;i<k;i++) f[1][i]=1;for(int i=0;i<k;i++) f[1][i]=ksm(invn,i);for(int i=2;i<=n;i++) {for(int j=0;j<1<<d;j++) B[j]=0;for(int j=0;j<=i*(k-1);j++) B[j]=f[i-1][j]*ifac[j];NTT(B,d,1);for(int j=0;j<1<<d;j++) B[j]=B[j]*A[j]%mod;NTT(B,d,-1);for(int j=0;j<=i*(k-1);j++) f[i][j]=B[j]*fac[j]%mod;}for(int i=1;i<=n;i++) {ll w=ksm(i,mod-2)*n%mod;ll t=w;for(int s=0;s<=i*(k-1);s++) {(g[i]+=f[i][s]*t)%=mod;t=t*w%mod;}}ll ans=0;ll flag=1;for(int c=1;c<=n;c++,flag=flag*(mod-1)%mod) {(ans+=flag*C(n,c)%mod*g[c])%=mod;}cout<<ans;return 0;
}