uoj#420. 【集训队作业2018】矩形(组合数学)
题面
传送门
题解
这辣鸡题目做了咱整整三天……咱果然还是太菜了……好珂怕的推倒啊……
首先把它变成
\[\left( \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} F(i, j) \, h^{im + j} \right) \bmod p\]
那么最后求答案的时候乘上的\({1\over h^{m+1}}\)就行了
我们考虑对\(v\)(即题目中的\(f_i\))和\(c\)分别计算贡献
\(sub_1\)
对于\(v_x\),打个表可以发现,第\(x\)行第\(1\)列它的系数为\(b\),第\(2\)列系数为\(b^2\),以及第\(x+i\)行第\(j\)列的系数为\({i+j-1\choose j-1}a^ib^jh^{(i+x)m}h^j\)
我们对它的系数求和,就是
\[ \begin{aligned} cnt &=\sum_{i=0}^{n-x}a^ih^{(i+x)m}\sum_{j=1}^{m}{i+j-1\choose j-1}b^{j}h^{j}\\ &=bh^{xm+1}\sum_{i=0}^{n-x}a^ih^{im}\sum_{j=0}^{m-1}{i+j\choose j}b^{j}h^{j}\\ \end{aligned} \]
记
\[ \begin{aligned} f_n=\sum_{i=0}^na^ih^{im}\sum_{j=0}^{m-1}{i+j\choose j}b^{j}h^{j}\\ g_n=\sum_{j=0}^{m-1}{n+j\choose j}b^{j}h^{j}\\ \end{aligned} \]
于是我们显然可以写出\(f_n\)的递推式\(f_n=f_{n-1}+a^nh^{nm}g_n\)
那么我们只要能搞出\(g\)就可以求出\(f\),进而求出每个\(v_x\)的系数了
那么继续推倒
\[ \begin{aligned} g_n &=\sum_{j=0}^{m-1}{n+j\choose j}b^{j}h^{j}\\ &=\sum_{j=0}^{m-1}\left({n+j-1\choose j-1}+{n-1+j\choose j}\right)b^{j}h^{j}\\ &=bh\sum_{j=0}^{m-2}{n+j\choose j}b^{j}h^{j}+\sum_{j=0}^{m-1}{n-1+j\choose j}b^{j}h^{j}\\ &=bh\left(g_n-{n+m-1\choose m-1}b^{m-1}h^{m-1}\right)+g_{n-1} \end{aligned} \]
然后就分类讨论啊,如果\(bh\)等于\(1\),就消掉\(g_n\),可以直接得出\(g_{n-1}\)的式子。如果\(bh\)不等于\(1\),就移项解方程。于是
\[g_n=\begin{cases} {n+m\choose m-1}&bh=1\\ {g_{n-1}+{n+m-1\choose m-1}b^mh^m\over 1-bh}&bh\neq 1 \end{cases} \]
初值分别为\(m(bh=1)\)和\({1-b^mh^m\over 1-bh}(bh\neq 1)\)
然后递推出\(g\),进而求出\(f\),对于每个\(v_x\)乘上\(bh^{xm+1}\)和\(f_{n-x}\)就行了
\(sub_2\)
然后我们考虑\(c\)的贡献
对于位置\((x,y)\),\((i,j)(i\leq x,j\leq y)\)上的每一个\(c\)都会对这一个位置有贡献,我们可以看做向下走一步乘\(a\),向右走一步乘\(b\),\((x,y)\)上\(c\)的系数就是从所有\((i,j)\)走到它的所有路径的权值之和。那么这个位置上\(c\)的系数就是就是
\[F(x,y)=\sum_{i=0}^{x-1}\sum_{j=0}^{y-1}a^ib^j{i+j\choose j}\]
总的系数就是
\[\sum_{x=1}^nh^{xn}\sum_{y=1}^mh^y\sum_{i=0}^{x-1}\sum_{j=0}^{y-1}a^ib^j{i+j\choose j}\]
我们记\(G(x,y)=h^y\sum_{i=0}^{x-1}\sum_{j=0}^{y-1}a^ib^j{i+j\choose j}\)
和上面一样化简。
\[ \begin{aligned} G(x,y) &=h^y\sum_{i=0}^{x-1}\sum_{j=0}^{y-1}a^ib^j\left({i+j-1\choose j-1}+{i-1+j\choose j}\right)\\ &=h^ya\sum_{i=0}^{x-2}\sum_{j=0}^{y-1}a^ib^j{i+j\choose j}+h^yb\sum_{i=0}^{x-1}\sum_{j=0}^{y-2}a^ib^j{i+j\choose j}+h^y \end{aligned} \]
注意,中间把组合数拆开来的时候,这个式子对\({0\choose 0}\)实际上是不适用的,所以我们少算了\({0\choose 0}\)的贡献,所以最后要加上\(h^y\)(咱因为没发现这个细节卡了好久)
继续推倒
\[G(x,y)=aG(x-1,y)+b\left(G(x,y)-h\sum_{i=0}^{x-1}a^ib^{y-1}h^{y-1}{i+y-1\choose y-1}\right)+h^y\]
我们对这个东西求一个和,也就是记\(T(x)=\sum_{y=1}^m G(x,y)\),有
\[T(x)=aT(x-1)+b\left(T(x)-h\sum_{i=0}^{x-1}a^i\sum_{j=0}^{m-1}b^jh^j{i+j\choose j}\right)+{h(1-h^m)\over 1-h}\]
虽然最后的\(h^y\)的求和还要特判一下\(h=1\)的情况不过想必大家都是明白的我就不写了
中间那一大坨是什么东西啊……回过头去看看……
\(\sum_{j=0}^{m-1}b^jh^j{i+j\choose j}\)不等于\(g_i\)么……
\[T(x)=aT(x-1)+b\left(T(x)-h\sum_{i=0}^{x-1}a^ig_i\right)+{h(1-h^m)\over 1-h}\]
还是分类讨论,如果\(b=1\)我们可以直接求出\(T(x-1)\)的通项公式,否则就可以解出\(T(x)\)的递推公式
然后枚举\(x\),每一个\(x\)都要让系数加上\(h^{xm}T(x)\),最后系数乘上\(c\)就行了
搞清楚字母哪个是哪个,别跟咱一样连自己写的啥都不知道了……
//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){R int res,f=1;R char ch;while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');return res*f;
}
const int N=1e6+15;
int v[N],f[N],g[N],d[N],inv[N],t[N];
int n,m,h,P,a,b,c,res,x,y;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R ll y){R int res=1;for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);return res;
}
int calc1(){int res=0,tmp;if(mul(b,h)==1){f[0]=g[0]=tmp=m;fp(i,1,n){tmp=1ll*(i+m)%P*tmp%P*inv[i+1]%P;g[i]=tmp;}}else{int p=mul(b,h),q=ksm(p,m);p=ksm(dec(1,p),P-2);tmp=1,f[0]=g[0]=mul(dec(1,q),p);fp(i,1,n){tmp=1ll*(i+m-1)%P*tmp%P*inv[i]%P;g[i]=dec(g[i-1],mul(tmp,q)),g[i]=mul(g[i],p);}}int p=1,k=mul(a,ksm(h,m));fp(i,1,n)p=mul(p,k),f[i]=add(f[i-1],mul(p,g[i]));int x=mul(b,h),y=ksm(h,m);fp(i,1,n)x=mul(x,y),res=add(res,1ll*x*f[n-i]%P*v[i]%P);return res;
}
int calc2(){int res=0,qwq=(h==1)?m%P:1ll*h*dec(1,ksm(h,m))%P*ksm(dec(1,h),P-2)%P;if(b==1){int tmp=g[0],k=1,inva=ksm(a,P-2);fp(i,1,n)k=mul(k,a),tmp=add(tmp,mul(k,g[i])),t[i]=mul(dec(1ll*tmp*h%P*b%P,qwq),inva);}else{int tmp=g[0],k=1,invb=ksm(dec(1,b),P-2);fp(i,1,n){t[i]=mul(a,t[i-1]);t[i]=dec(t[i],1ll*b*h%P*tmp%P);t[i]=add(t[i],qwq);t[i]=mul(t[i],invb);k=mul(k,a),tmp=add(tmp,mul(k,g[i]));}}int g=1,k=ksm(h,m);fp(i,1,n)g=mul(g,k),res=add(res,mul(g,t[i]));return mul(res,c);
}
int main(){
// freopen("testdata.in","r",stdin);read(),n=read(),m=read(),h=read(),P=read(),a=read(),b=read(),c=read();if(!h)return printf("%d\n",add(c,mul(b,read()))),0;inv[0]=inv[1]=1;fp(i,2,n+5)inv[i]=mul(P-P/i,inv[P%i]);fp(i,1,n)v[i]=read();x=calc1(),y=calc2();res=ksm(h,m+1),res=ksm(res,P-2),res=mul(res,add(x,y));printf("%d\n",res);return 0;
}
转载于:https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/10466783.html
uoj#420. 【集训队作业2018】矩形(组合数学)相关推荐
- uoj#422. 【集训队作业2018】小Z的礼物
uoj#422. [集训队作业2018]小Z的礼物 题目描述 Solution 所有礼物全部取到的方案数并不好求,因此我们考虑min−maxmin-maxmin−max容斥,转化为第一次取到集合中某一 ...
- 【UOJ#450】【集训队作业2018】复读机(生成函数,单位根反演)
[UOJ#450][集训队作业2018]复读机(生成函数,单位根反演) 题面 UOJ 题解 似乎是\(\mbox{Anson}\)爷的题. \(d=1\)的时候,随便怎么都行,答案就是\(k^n\). ...
- UOJ#449. 【集训队作业2018】喂鸽子
#449. [集训队作业2018]喂鸽子 DP好题 法一:min-max容斥 处理前m个,最快吃饱的鸽子期望的时间 根据期望的定义 考虑每个方案数的概率*期望次数 枚举前m个用了x个,概率都是(1/m ...
- UOJ#418. 【集训队作业2018】三角形
#418. [集训队作业2018]三角形 和三角形没有关系 只要知道儿子放置的顺序,就可以直接模拟了 记录历史最大值 用一个pair(a,b):之后加上a个,期间最大值为增加b个 合并? A1+A2= ...
- UOJ#449. 【集训队作业2018】喂鸽子 min-max容斥,FFT
原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ449.html 题解 设 f(i) 表示给 i 只鸽子喂食使得至少一只鸽子被喂饱的期望次数,先 min-max容斥 一下. ...
- UOJ#419. 【集训队作业2018】圆形(格林公式)
题面 传送门 题解 首先您得会用格林公式计算圆的面积并 这里只需要动态维护一下圆弧就可以了 时间复杂度\(O(n^2\log n)\) //minamoto #include<bits/stdc ...
- UOJ#450. 【集训队作业2018】复读机 排列组合 生成函数 单位根反演
原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ450.html 题解 首先有一个东西叫做"单位根反演",它在 FFT 的时候用到过: ...
- 集训队作业2018: 青春猪头少年不会梦到兔女郎学姐(多限制容斥)(生成函数)(组合数学)
题意 给定 nnn 种颜色的球,第 iii 种颜色的球数量为 aia_iai 个,一种排列的贡献可以如下计算:先把这个序列首尾相连,然后把所有相邻且颜色相同的段拿出来,贡献为他们的长度之积,求所有排 ...
- uoj#448. 【集训队作业2018】人类的本质(Min_25筛+拉格朗日插值)
题面 传送门 题解 肝了整整一天--膜拜yww和cx巨巨--(虽然它们的题解里我就没看懂几个字) 请备好草稿纸和笔,这种题目就是需要耐心推倒 题目所求是这么一个东西 \[ \begin{aligned ...
最新文章
- TCP/IP 协议栈及 OSI 参考模型详解--云平台技术栈04
- 电脑html按键侧滑广告,HTML5侧滑聊天面板
- django使用ckeditor富文本编辑器-转
- Oracle——15触发器
- WGAN-GP与GAN及WGAN的比较
- python获取一个月之前日期_Python 获取几天前的时间
- 【Visual C++】游戏开发笔记三十四 浅墨DirectX提高班之三 起承转合的艺术:Direct3D渲染五步曲...
- Fatal error: Cannot redeclare db_connect() 错误
- LintCode Python 简单级题目 41.最大子数组 - 44.最小子数组和
- 将excel文件中的数据导入导出至SQL数据库中(Microsoft.Jet.OLEDB.4.0和Microsoft.ACE.OLEDB.12.0|office2003和office2007)...
- 瑞利信道的多普勒谱的原理与MATLAB仿真
- VC2012安装Opengl开发环境
- 电信光纤友华PT921G,烽火HG220光猫破解关闭自带路由改桥接拨号教程
- 第8章 离不开的数据库
- PDF编辑器哪个好,如何把PDF文件拆分成多个文件
- Flutter shared_preferences简单使用
- 使用SharedPreferences保存list
- JavaScript DOM操作,就是这么简单!
- IE8跳转谷歌浏览器亲测有效
- ModelSim: Module is not defined