1. 固定翼飞机的飞行原理

一般地，多旋翼飞机的飞行原理简单而易懂：通过机身装备的螺旋桨的转动产生升力，进而获得zzz轴上的上下垂直移动。通过调整某个/某几个螺旋桨的转速，就能够实现俯仰、滚转、偏航的姿态调整。从力学基础角度看，螺旋桨同时增大/降低转速可以实现多旋翼的上升/下降，不同螺旋桨之间的转速差引起的转矩则能够实现姿态机动。

另一方面，由于多旋翼的控制通道往往是解耦的，因而其飞控算法容易实现，调参难度低，控制律设计也相对容易，经常作为专业相关学生的入门接触对象。

与旋翼机相比，固定翼飞机历史悠久，飞行难度高，飞行条件苛刻，力学方程更加复杂，控制律更难设计。其飞行以流体力学为基础，通过飞行过程中机翼上下表面的压差提供升力，因而“无速度就无升力”。固定翼的俯仰、滚转、偏航均通过机翼和尾翼的舵面来控制。

同时，固定翼飞机的数学模型往往相互耦合，难以设计控制律，且实际工业中往往通过控制左/右副翼、水平稳定翼、垂直稳定翼、方向舵、升降舵、推力等等参数以达到控制的目的，因而工业上固定翼飞机的控制律设计更加复杂。

本文以简化后的固定翼数学建模为基础，在牛顿–欧拉方程基础上建立固定翼的数学模型。

2. 姿态角设置

根据目前最默认的设置，滚转、俯仰、偏航分别为欧拉角φ\varphiφ、θ\thetaθ、ψ\psiψ（机体坐标系），而在地球坐标系下，三个通道的速度分别表示为ppp、qqq、rrr。二者之间通过坐标系转换矩阵进行转换：
[pqr]=Reb[φ˙θ˙ψ˙]=[10−sin⁡θ0cos⁡φsin⁡φcos⁡θ0−sin⁡φcos⁡φcos⁡θ][φ˙θ˙ψ˙]\left[ \begin{matrix} p \\ q \\ r \end{matrix} \right] = R_e^b \left[ \begin{matrix} \dot \varphi \\ \dot \theta \\ \dot \psi \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & - \sin \theta \\ 0 & \cos \varphi & \sin \varphi \cos \theta \\ 0 & -\sin \varphi & \cos \varphi \cos \theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \dot \varphi \\ \dot \theta \\ \dot \psi \end{matrix} \right] ⎣⎡pqr⎦⎤=Reb⎣⎡φ˙θ˙ψ˙⎦⎤=⎣⎡1000cosφ−sinφ−sinθsinφcosθcosφcosθ⎦⎤⎣⎡φ˙θ˙ψ˙⎦⎤

3. 牛顿–欧拉方程

牛顿–欧拉方程如下：
Ω˙b=(Jb)−1(Mb−Ωb×(Jb⋅Ωb))(1)\dot \Omega^b = \left( J^b \right) ^ {-1} \left( M^b - \Omega^b \times \left( J^b \cdot \Omega^b \right) \right) \tag{1} Ω˙b=(Jb)−1(Mb−Ωb×(Jb⋅Ωb))(1)其中Ω=[pqr]T\Omega = \left[ \begin{matrix} p & q & r \end{matrix}\right]^TΩ=[pqr]T为姿态角矩阵，JbJ^bJb为机体坐标系下固定翼的转动惯量矩阵：
Jb=[Jx0Jxz0Jy0Jzx0Jz](2)J^b = \left[ \begin{matrix} J_x & 0 & J_{xz} \\ 0 & J_y & 0 \\ J_{zx} & 0 & J_z \end{matrix} \right] \tag{2} Jb=⎣⎡Jx0Jzx0Jy0Jxz0Jz⎦⎤(2)而MbM^bMb为外力在俯仰、滚转、偏航三通道上的力矩：
Mb=[qˉSbELqˉScˉEMqˉSbEN](3)M^b = \left[ \begin{matrix} \bar q Sb E_L \\ \bar q S \bar c E_M \\ \bar q Sb E_N \end{matrix} \right] \tag{3} Mb=⎣⎡qˉSbELqˉScˉEMqˉSbEN⎦⎤(3)其中qˉ=12ρVT2\bar q = \frac{1}{2} \rho V_T^2qˉ=21ρVT2为空气动压，bbb为翼展，cˉ\bar ccˉ为机翼平均弦长；EM,EL,ENE_M, E_L, E_NEM,EL,EN分别为滚转、俯仰、偏航力矩系数，各自表达式如下：
EL=CLˉβ⋅β+CLδr⋅δr+CLδa⋅δa+CLpˉ(pb2VT)+CLrˉ(rb2VT)EM=CM0+CMα⋅α+CMδe⋅δe+CMα˙(α˙cˉ2VT)+CMqˉ(qcˉ2VT)EN=CNβ⋅β+CNδa⋅δa+CNδr⋅δr+CNpˉ(pb2VT)+CNrˉ(rb2VT)(4)\begin{aligned} E_L &= C_{\bar L \beta} \cdot \beta + C_{L \delta_r} \cdot \delta_r + C_{L \delta_a} \cdot \delta_a + C_{L \bar p} \left( \frac{pb}{2V_T }\right) + C_{L \bar r} \left( \frac{rb}{2V_T }\right) \\ E_M &= C_{M_0} + C_{M \alpha} \cdot \alpha + C_{M \delta_e} \cdot \delta_e + C_{M \dot \alpha} \left( \frac{\dot \alpha \bar c}{2V_T}\right) + C_{M \bar q} \left( \frac{q \bar c}{2V_T}\right) \\ E_N &= C_{N \beta} \cdot \beta + C_{N \delta_a} \cdot \delta_a + C_{N \delta_r} \cdot \delta_r + C_{N \bar p} \left( \frac{pb}{2V_T}\right) + C_{N \bar r} \left( \frac{rb}{2V_T}\right) \end{aligned} \tag{4} ELEMEN=CLˉβ⋅β+CLδr⋅δr+CLδa⋅δa+CLpˉ(2VTpb)+CLrˉ(2VTrb)=CM0+CMα⋅α+CMδe⋅δe+CMα˙(2VTα˙cˉ)+CMqˉ(2VTqcˉ)=CNβ⋅β+CNδa⋅δa+CNδr⋅δr+CNpˉ(2VTpb)+CNrˉ(2VTrb)(4)其中δr,δa,δe\delta_r, \delta_a, \delta_eδr,δa,δe分别为尾翼方向舵、左右副翼、尾翼升降舵的控制量。

将(1)(2)(3)(4)联立，(1)式可以化为
Ω˙b=(Jb)−1(Mb−Ωb×(Jb⋅Ωb))⟹[p˙q˙r˙]=Λ[qˉSbEL−Jzxpq−Jzqr+JyqrqˉScˉEM−Jxpr−Jxzr2+Jzxp2+JzprqˉSbEN−Jypq+Jxpq+Jxzqr](5)\dot \Omega^b = \left( J^b \right) ^ {-1} \left( M^b - \Omega^b \times \left( J^b \cdot \Omega^b \right) \right) \Longrightarrow \\ \left[ \begin{matrix} \dot p \\ \dot q \\ \dot r \end{matrix} \right] = \Lambda \left[ \begin{matrix} \bar q Sb E_L - J_{zx}pq - J_z qr + J_y qr \\ \bar q S \bar c E_M - J_x pr - J_{xz} r^2 + J_{zx} p^2 + J_z pr \\ \bar q Sb E_N - J_y pq + J_x pq + J_{xz}qr \end{matrix} \right] \tag{5} Ω˙b=(Jb)−1(Mb−Ωb×(Jb⋅Ωb))⟹⎣⎡p˙q˙r˙⎦⎤=Λ⎣⎡qˉSbEL−Jzxpq−Jzqr+JyqrqˉScˉEM−Jxpr−Jxzr2+Jzxp2+JzprqˉSbEN−Jypq+Jxpq+Jxzqr⎦⎤(5)其中Λ=(Jb)−1=[JzJxJz−JxzJzx0JxzJxzJzx−JxJz01Jy0JzxJxzJzx−JxJz0JxJxJz−JxzJzx]\Lambda = \left( J^b \right) ^{-1} = \left[ \begin{matrix} \frac{J_z}{J_x J_z - J_{xz} J_{zx}} & 0 & \frac{J_{xz}}{J_{xz} J_{zx} - J_x J_z} \\ 0 & \frac{1}{J_y} & 0 \\ \frac{J_{zx}}{J_{xz} J_{zx} - J_x J_z} & 0 & \frac{J_x}{J_x J_z - J_{xz} J_{zx}} \end{matrix} \right] Λ=(Jb)−1=⎣⎡JxJz−JxzJzxJz0JxzJzx−JxJzJzx0Jy10JxzJzx−JxJzJxz0JxJz−JxzJzxJx⎦⎤另一方面，由于EL,EM,ENE_L, E_M, E_NEL,EM,EN表达式显含控制量δi\delta_iδi，因而(5)式还可以简化为
{p˙=f1(δr,δa,p,q,r)q˙=f2(δe,p,q,r)r˙=f3(δr,δa,p,q,r)(6)\begin{cases} \dot p = f_1 \left( \delta_r, \delta_a, p, q, r \right) \\ \dot q = f_2 \left( \delta_e, p, q, r \right) \\ \dot r = f_3 \left( \delta_r, \delta_a, p, q, r \right) \end{cases} \tag{6} ⎩⎨⎧p˙=f1(δr,δa,p,q,r)q˙=f2(δe,p,q,r)r˙=f3(δr,δa,p,q,r)(6)

4. 备注

本文只对固定翼的姿态角做出了数学建模，对于其位移、气流角等的进一步探讨将在后续给出。
下一节将会给出固定翼姿态角的控制算法与实例。

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固定翼飞机数学建模入门（姿态角篇）

固定翼飞机数学建模入门

1. 固定翼飞机的飞行原理

2. 姿态角设置

3. 牛顿–欧拉方程

4. 备注

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