数理统计-5.3 统计量及其分布

统计量：设x1，x2，…，xn是取自总体的样本，若样本函数T=T(x1，x2，…，xn)不含有任何未知参数，则称T为统计量
抽样分布：统计量的分布称作抽样分布
统计量不依赖于未知参数，但它的分布是依赖于未知参数的

样本均值及其抽样分布：
设x1，x2，…，xn是取自总体的样本，其算术平均值称为样本均值
x一捌= (x1+x2+…+xn)/n=Sum(xi)/n
在分组样本场合中
x一捌= (x1·f1+x2·f2+…+xn·fn)/n，fi为xi的频数

若把样本中数据与样本均值之差称为偏差，则样本所有偏差之和为0，Sum(xi-(x一捌))=0

数据观测值与样本均值的偏差平方和最小，即在形如Sum(xi-c)^2的函数中，Sum(xi-(x一捌))最小，c为任意常数

设x1，x2，…，xn是来自于某个总体的样本，(x一捌)为样本均值
1、当总体分布为N(u,c^2)，则(x一捌)的精确分布为N(u,c ^2/n)
2、当总体分布未知或不是正态分布，E(x)=u,D(x)=c^ 2存在，则在n较大时(x一捌)的渐进分布为N(u,c^2/n)
证明：
(1)利用卷积公式，可得知Sum(xi)～N(nu,nc^2)
由此可知(x一捌)～N(u,c^2/n)
(2)由中心极限定理，sqrt(n)*((x一捌)-u)/c——>N(0,1)，这表明n较大时(x一捌)的渐进分布为N(u,c^2/n)

样本方差与样本标准差：
样本方差：设x1，x2，…，xn是来自于某个总体的样本，则它关于样本均值(x一捌)的平均偏差平方和为Sn^{2=Sum((xi-(x一捌))}2)/n，Sn为其样本标准差
在n不大时，常用S^{2=Sum((xi-(x一捌))}2)/(n-1)作为样本方差(无偏方差)，在以后提到样本方差通常指的就是S^2
样本方差是度量样本散布大小的统计量，在它的定义中，n为样本量，Sum((xi-(x一捌))^2)为偏差平方和，n-1为偏差平方和的自由度，其含义是：在(x一捌)确定后，n个偏差x1-(x一捌)，x2-(x一捌)，…只有n-1的偏差可以自由变动，而第n个偏差不能自由变动，因为Sum(xi-(x一捌))=0
在分组样本场合中，样本方差的近似计算公式为
S^ 2=Sum(fi·(xi-(x一捌))^2)/(n-1)，fi为xi的频数

样本的均值与方差
设x1，x2，…，xn为总体的一个样本，总体的期望为u，方差为c^2
E(x一捌)=(nu)/n=u
Var(x一捌)=Var(Sum(xi))/n^2=c ^2/n
Sum((xi-(x一捌))^2)=Sum(xi ^2)-n(x一捌)
E(xi^ 2)=E^ 2(xi)+Var(xi)=u^2+c ^2
E((x一捌)^ 2)=E^ 2((x一捌))+Var((x一捌))=u^2+c ^2/n
E(Sum((xi-(x一捌))^ 2))=E(Sum(xi^ 2))-E(n*(x一捌))=n*(u^ 2+c^ 2)-n*(u^ 2+c^ 2/n)=(n-1)*c^2

k阶原点矩与k阶中心矩
原点矩：ak=Sum(xi)^k/n
中心矩：bk=Sum(xi-(x一捌))^k/n
1阶原点矩为期望
2阶中心矩为方差

样本偏度与峰度
偏度：Bs=b3/b2^1.5
偏度为0，样本完全对称
偏度小于0，样本左偏
偏度大于0，样本右偏
峰度：Bk=b4/b2^2-3
峰度小于0，样本比标正平坦
峰度大于0，样本比标正尖顶

次序统计量及其分布
设x1，x2，…，xn为总体的一个样本，x(i)称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第i个观测值
x(1)=min{xi}为该样本的最小次序统计量
x(n)=max{xi}为该样本的最大次序统计量

一个简单随机样本中，x1，x2，…，xn是独立分布的，而次序统计量x(1)，x(2)，…，x(n)则不独立，分布也不相同
证明如下：

单个次序统计量的分布

多个次序统计量及其函数的分布

样本分位数与样本中位数

箱线图：
Xmin，M0.25，M0.5，M0.75，Xmax

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