缺项级数的收敛域求解

@(微积分)

举个例子：

幂级数∑∞n=1(−1)nx2n+12n+1\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}的收敛域求解。

分析：很容易就想通过求收敛半径，再通过判定边界值是否收敛求出收敛域。但是，这里有个问题，这是缺项级数，因此用于幂级数的柯西-阿达玛公式
ρ=limn→∞|an+1an|\rho = \lim_{n\rightarrow \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|
就不可以用.
需要用的是达朗贝尔的比值审敛法:

limn→∞|un+1un|=limn→∞|x2n+32n+3x2n+12n+1|=x2

\lim_{n\rightarrow \infty}|\frac{u_{n+1}}{u_n}| \\ = \lim_{n\rightarrow \infty}|\frac{\frac{x^{2n+3}}{2n+3}}{\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}| = x^2

当|x2|<1| x^2 |，即：|x|<1|x| 时，级数绝对收敛。

当|x2|>1| x^2 |> 1，即：|x|>1|x| > 1时，级数发散。

所以收敛半径是1.

因此收敛区间是(−1,1)(-1,1)
再令x = -1,1分别可验证收敛。

因此收敛域是[-1,1]。

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