bzoj1488 图的同构

图的同构

题目描述
传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1488

题解

还在搞OI的时候就看过这道题，看的一脸懵逼。
学了群论的相关知识再来看这题，还是一脸懵逼。
后来借助题解知道了做法。

求n个点完全不同的简单无向图的方案数。
对于每条边，存在与不存在等价于黑白染色。
因为涉及到点的置换，边的置换，所以考虑polya定理。

枚举点的置换群的点循环的循环大小
对于同一个点循环内的边循环的大小等于点循环大小/2
对于不同点循环内边循环大小等于两个点循环大小的gcd。
这个手玩一下应该看得出来为什么
所以sum=Σ2^(Σsize[i]/2+Σgcd(size[i],size[j]))

接下来求符合该循环集条件下的边置换的个数，即对应的点置换的个数。
tmp=n!/π( size[i])/(π num[i]!)
其中num[i]表示大小为size[i]的循环节的个数
除掉size[i]可以理解为圆形排列
除掉num[i]!是因为相同大小的循环节会出现重复计算

ans=Σsum*tmp/n!

题解参考的这份：
http://blog.csdn.net/wzq_qwq/article/details/48035455

然后这题也可以手完几个点然后去查OEIS（逃）

双倍经验 bzoj1815

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 997
#define N 65
using namespace std;
int n,ans,val[N],s[N],fac[N];int Pow(int a,int b)
{int res=1;while(b){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return res;
}int gcd(int a,int b)
{if(!b)return a;return gcd(b,a%b);
}void dfs(int x,int res,int num)
{if(!res){int sum=0,tmp=1;for(int i=1;i<=x;i++){sum+=s[i]*(s[i]-1)/2*val[i]+val[i]/2*s[i];for(int j=i+1;j<=x;j++)sum+=gcd(val[i],val[j])*s[i]*s[j];}for(int i=1;i<=x;i++)tmp=tmp*fac[s[i]]*Pow(val[i],s[i])%mod;tmp=Pow(tmp,mod-2)*fac[n]%mod;ans=(ans+Pow(2,sum)*tmp)%mod;return;}if(num>n)return;dfs(x,res,num+1);for(int i=1;i*num<=res;i++){val[x+1]=num;s[x+1]=i;dfs(x+1,res-i*num,num+1);}
}int main()
{scanf("%d",&n);fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;dfs(0,n,1);printf("%d\n",ans*Pow(fac[n],mod-2)%mod); return 0;
}

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