1. 概述

在文章《判断点是否在三角形内》中还提到了一种判断点在三角形内外的算法——重心法。这种算法同样用到了三角形的空间向量方程，但是值得注意的是，这种算法却只能判断平面中点在三角形的内外关系(已知空间向量方程，是可以判断三维空间关系的:空间中判断点在三角形内算法(方程法))。

2. 详论

2.1. 原理

重心法的推导过程与空间中判断点在三角形内算法(方程法))的推导过程比较相似。对于三个顶点为V0，V1，V2组成的空间三角形，对于三角形内的任一点P，有如下参数方程：

P⃗=(1−u−v)V0⃗+uV1⃗+vV2⃗\vec{P} = (1 - u - v) \vec{V_0} + u \vec{V_1} + v \vec{V_2} P=(1−u−v)V0+uV1+vV2

变换位置，我们可以将其调整为：
V0P⃗=u(V0V1⃗)+v(V0V2⃗)\vec{V_0P} = u(\vec{V_0V_1}) + v(\vec{V_0V_2}) V0P=u(V0V1)+v(V0V2)

将上式分别点乘V0V1⃗\vec{V_0V_1}V0V1和V0V2⃗\vec{V_0V_2}V0V2，有：
{V0P⃗⋅V0V1⃗=u(V0V1⋅V0V1⃗⃗)+v(V0V2⃗⋅V0V1⃗)V0P⃗⋅V0V2⃗=u(V0V1⃗⋅V0V2⃗)+v(V0V2⃗⋅V0V2⃗)\begin{cases} \vec{V_0P} \cdot \vec{V_0V_1} = u(\vec{V_0V_1 \cdot \vec{V_0V_1}}) + v(\vec{V_0V_2} \cdot \vec{V_0V_1}) \\ \vec{V_0P} \cdot \vec{V_0V_2} = u(\vec{V_0V_1} \cdot \vec{V_0V_2}) + v(\vec{V_0V_2} \cdot \vec{V_0V_2}) \\ \end{cases} {V0P⋅V0V1=u(V0V1⋅V0V1)+v(V0V2⋅V0V1)V0P⋅V0V2=u(V0V1⋅V0V2)+v(V0V2⋅V0V2)

很显然，这是个2行2列的线性方程组，通过克莱姆法则来求解：
{D=(V0V1⋅V0V1⃗⃗)∗(V0V2⃗⋅V0V2⃗)−(V0V2⃗⋅V0V1⃗)∗(V0V1⃗⋅V0V2⃗)D1=(V0P⃗⋅V0V1⃗)∗(V0V2⃗⋅V0V2⃗)−(V0V2⃗⋅V0V1⃗)∗(V0P⃗⋅V0V2⃗)D2=(V0V1⋅V0V1⃗⃗)∗(V0P⃗⋅V0V2⃗)−(V0P⃗⋅V0V1⃗)∗(V0V1⃗⋅V0V2⃗)\begin{cases} D = (\vec{V_0V_1 \cdot \vec{V_0V_1}}) * (\vec{V_0V_2} \cdot \vec{V_0V_2}) - (\vec{V_0V_2} \cdot \vec{V_0V_1}) * (\vec{V_0V_1} \cdot \vec{V_0V_2}) \\ D1 = (\vec{V_0P} \cdot \vec{V_0V_1}) * (\vec{V_0V_2} \cdot \vec{V_0V_2}) - (\vec{V_0V_2} \cdot \vec{V_0V_1}) * (\vec{V_0P} \cdot \vec{V_0V_2}) \\ D2 = (\vec{V_0V_1 \cdot \vec{V_0V_1}}) * (\vec{V_0P} \cdot \vec{V_0V_2}) - (\vec{V_0P} \cdot \vec{V_0V_1}) * (\vec{V_0V_1} \cdot \vec{V_0V_2}) \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧D=(V0V1⋅V0V1)∗(V0V2⋅V0V2)−(V0V2⋅V0V1)∗(V0V1⋅V0V2)D1=(V0P⋅V0V1)∗(V0V2⋅V0V2)−(V0V2⋅V0V1)∗(V0P⋅V0V2)D2=(V0V1⋅V0V1)∗(V0P⋅V0V2)−(V0P⋅V0V1)∗(V0V1⋅V0V2)

{u=D1/Dv=D2/D\begin{cases} u = D1 / D \\ v = D2 / D \\ \end{cases} {u=D1/Dv=D2/D

2.2. 实现

详细的代码实现如下：

//空间三角形
//按照逆时针顺序插入值并计算法向量
template <class T>
class Triangle
{public:Vec3<T> v0;Vec3<T> v1;Vec3<T> v2;Triangle(){}Triangle(Vec3<T> v0, Vec3<T> v1, Vec3<T> v2){this->v0 = v0;this->v1 = v1;this->v2 = v2;     }void Set(Vec3<T> v0, Vec3<T> v1, Vec3<T> v2){this->v0 = v0;this->v1 = v1;this->v2 = v2;    }// 判断平面点P是否在平面三角形内(重心法)bool PointInTriangle2D(Vec3<T>& P){auto v01 = v1 - v0 ;auto v02 = v2 - v0 ;auto v0p = P - v0 ;double dot00 = v01 * v01 ;double dot01 = v01 * v02 ;double dot02 = v01 * v0p ;double dot11 = v02 * v02 ;double dot12 = v02 * v0p ;double D = (dot00 * dot11 - dot01 * dot01);if(D == 0.0){return false;}double inverDeno = 1 / D ;double u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * inverDeno ;if (u < 0 || u > 1){return false ;}double v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * inverDeno ;if (v < 0 || v > 1){return false ;}return u + v <= 1 ;}};

2.3. 总结

本质上，这个算法与空间中判断点在三角形内算法(方程法)是同一种算法的不同推导，都是通过空间三角形中点的向量方程来求解的，但是是采用了不同的解法。不过为什么一个可以判断空间关系，一个只能判断平面关系呢？关键在于点是否能让向量方程成立，这个求解算法可以求解u，v，但没有保证空间内的向量方程能够成立。

3. 参考

判断点是否在三角形内
空间中判断点在三角形内算法(方程法))

详细代码

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