Chapter 7

马科维茨投资组合理论

问题描述

即对以下问题求解：

Max:U=E(r)−12Aσ2

Max: U=E(r)-\frac{1}{2}A\sigma^2
s.t.s.t.

∑iωi=1

\sum_i\omega_i=1

不考虑做空的情况下，加一条限制条件ωi>0\omega_i>0

目标函数及约束条件中：

E(r)=∑iωiE(ri)σ2=ω⃗ TCω⃗

E(r)=\sum_i\omega_iE(r_i)\\ \sigma^2=\vec{\omega}^T C \vec{\omega}

注：

AA为个人投资者的风险厌恶度，ωi\omega_i为每种资产的配置比例，ω⃗ \vec{\omega}为各资产配置比例列向量，CC为各资产rir_i的协方差矩阵，是一个实对称方阵。

问题分解

可以直接将资产不区分无风险资产和有风险资产，代入所有已知条件求UmaxU_{max}及对应的ω⃗ \vec{\omega}。

但也可以将问题分解，首先只考虑风险资产的配置比例问题，然后再考虑无风险资产与风险资产的配置比例问题。

Step 1 风险资产的内部配置对应的E−σE-\sigma可行域及边界曲线

现在假设投资仅限于风险资产（且不做空）:

当只有2种风险资产组合时，不同配置比例下的E(r)−σ(r)E(r)-\sigma(r)可行域为一条曲线
当有多于2种风险资产组合时，不同配置比例下的E(r)−σ(r)E(r)-\sigma(r)可行域为一个二维有界区域 Σ\Sigma。其左上部分边界为一条上凸曲线f(E,σ)=0f(E,\sigma)=0，为需要求的边界曲线，称为有效前沿

具体如何求Σ\Sigma的左上部分边界曲线，即为以下问题

Min:σ2=ωTCω

Min: \sigma^2={\omega}^T C {\omega}
s.t.s.t.

E=∑iωiRi∈[E(rmin),E(rmax)]∑iωi=1

E=\sum_i\omega_iR_i\in[E(r_{min}),E(r_{max})]\\ \sum_i\omega_i=1

不考虑做空的情况下，加一条限制条件ωi>0\omega_i>0

注：
A为个人投资者的风险厌恶度，ωi\omega_i为每种风险资产的配置比例，ω{\omega}为各风险资产配置比例列向量，RR为各风险资产的预期收益率，C为各风险资产rir_i间的协方差矩阵，是一个实对称方阵，E为区间内某个可能值，遍历所有可能的E即可得到所求边界曲线。

上述等式约束条件的二次型问题可以用拉格朗日乘子法求解，问题变为：

L(ω)=ωTCω+λ1(E−RTω)+λ2(1−ωTI0))∇ωL(ω,λ)=0∇λL(ω,λ)=0

L(\omega)=\omega^TC\omega+\lambda_1(E-R^T\omega)+\lambda_2(1-\omega^TI_0))\\\nabla_{\omega}L(\omega,\lambda)=0\\\nabla_{\lambda}L(\omega,\lambda)=0

求解∇ωL(ω)\nabla_{\omega}L(\omega)：

=∇ωTr(L(ω))=\nabla_{\omega}Tr(L(\omega))
=∇ωTr(ωωTC)−λ1∇ωTr(ωTE)−λ2∇ωTr(ωTI0)=\nabla_{\omega}Tr(\omega\omega^TC)-\lambda_1\nabla_{\omega} Tr(\omega^TE)-\lambda_2\nabla_{\omega}Tr(\omega^TI_0)
=∇ωTr(ωIωTC)−λ1E−λ2I0=\nabla_{\omega}Tr(\omega I\omega^TC)-\lambda_1 E-\lambda_2I_0
=Cω+CTω−λ1E−λ2I0=C\omega+C^T\omega-\lambda_1 E-\lambda_2I_0
=2Cω−λ1E−λ2I0=0=2C\omega-\lambda_1 E-\lambda_2I_0=0

若CC可逆，则ω=12C−1(λ1E+λ2I0)\omega=\frac{1}{2}C^{-1}(\lambda_1 E+\lambda_2 I_0)，结合两个约束条件即可得λ1\lambda_1与λ2\lambda_2，求得ω\omega。

Step 2 无风险资产与风险资产的配置比例求解

∀(E,σ)∈Σ\forall (E,\sigma)\in\Sigma，均可作为一个可行解，我们从Σ\Sigma中任取一点(Ep,σp)(E_p,\sigma_p)，其对应的配置比例为ω⃗ p\vec{\omega}_p。

下面，考虑该内部配置为ω⃗ p\vec{\omega}_p，预期收益为EpE_p，标准差为σp\sigma_p的风险资产与无风险资产的配置问题。

从Chapter 6 中可以知道，效用函数取最大值UpU_p时，效用无差异曲线与资本配置线相切，且UpU_p随着资本配置线的夏普比率SS增大而增大。

证明：

U=E−12Aσ2⇒U=Ef+y(Ep−Ef)−12Aσ2py2⇒最大值Up=(Ep−Ef)22Aσ2p+Ef=S22A+Ef

U=E-\frac{1}{2}A\sigma^2\\ \Rightarrow U=E_f+y(E_p-E_f)-\frac{1}{2}A\sigma_p^2y^2\\ \Rightarrow 最大值U_p=\frac{(E_p-E_f)^2}{2A\sigma_p^2}+E_f=\frac{S^2}{2A}+E_f

进一步考虑，什么样的(Ep,σp)(E_p,\sigma_p)会使UpU_p取最大值。通过图像可知，与Σ\Sigma左上边界线相切的资本配置线有着最大的SS值，因而对应着Up,maxU_{p,max}，此时的配置比例即为最优配置。

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