一元二次方程解法最新研究成果，秒算任何方程

2024-06-02 13:33:54

一元二次方程解法

一元二次方程定义：
ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)ax^2+bx+c=0 (a,b,c \in R,且 a \not= 0)ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a=0)

韦达定理

方程两个根x1,x2x_1,x_2x1,x2有以下性质：
x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a}x1+x2=−ab
x1x2=cax_1 x_2=\frac{c}{a}x1x2=ac

通用解法

求根公式：
x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x1,2=2a−b±b2−4ac

十字交叉法

将二元一次方程转化为：(x−A)(x−B)=0(x-A)(x-B)=0(x−A)(x−B)=0的形式，则两个根为：
x1=Ax_1=Ax1=A
x2=Bx_2=Bx2=B

例子

x2−7x+12=0x^2-7x+12=0x2−7x+12=0
使用求根公式解：
x1,2=−b±b2−4ac2a=7±72−4×1×122×1=7±12x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm\sqrt{7^2-4\times1\times12}}{2\times1}=\frac{7\pm1}{2}x1,2=2a−b±b2−4ac=2×17±72−4×1×12=27±1
∴\therefore∴ x1=4x_1=4x1=4, x2=3x_2=3x2=3

使用十字交叉法：
两根之和为7，两根之积为12，可以拆成如下形式
(x-3)(x-4)=0
∴\therefore∴ x1=4x_1=4x1=4, x2=3x_2=3x2=3

十字交叉法局限性

十字交叉法是根据韦达定理来猜两个根，如果根是分式或者无理数则不好猜。
比如解x2−6x+6=0x^2-6x+6=0x2−6x+6=0就失效了。

新的解决方案

最近国外发表最新一元二次方差的求根方案，不用猜，直接可以使用十字交叉法解方程。

假设首项系数为1，一元二次方程为：x2−2Bx+C=0x^2-2Bx+C=0x2−2Bx+C=0（注意这里是2B，方便下面表示）。由于两根满足下式：
x1+x2=2Bx_1+x_2=2Bx1+x2=2B
x1x2=Cx_1 x_2=Cx1x2=C

那不妨设两根分别为 B+uB+uB+u，B−uB-uB−u，则两根之积可以表示为：
(B+u)(B−u)=B2−u2(B+u)(B-u)=B^2-u^2(B+u)(B−u)=B2−u2

由于两根之积为 CCC
所以：B2−u2=CB^2-u^2=CB2−u2=C
可以解得：u=±B2−Cu=\pm \sqrt{B^2-C}u=±B2−C

那么两根就显而易见了：
x1=B+B2−Cx_1=B+\sqrt{B^2-C}x1=B+B2−C
x2=B−B2−Cx_2=B-\sqrt{B^2-C}x2=B−B2−C

现在我们回过头来解：x2−6x+6=0x^2-6x+6=0x2−6x+6=0
设两根分别为3+u和3−u3+u和3-u3+u和3−u，那么(3+u)(3−u)=9−u2=7(3+u)(3-u)=9-u^2=7(3+u)(3−u)=9−u2=7
解得u=±2u=\pm \sqrt2u=±2
则两根分别为：
x1=3+2x_1=3+\sqrt2x1=3+2
x2=3−2x_2=3-\sqrt2x2=3−2

这个方法是不是简单的多。

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