δ\deltaδ函数

δ\deltaδ函数，并不是通常意义下的函数：它并没有给出函数与自变量之间的对应关系。
它给出的对应关系在通常意义下是没有意义的
它所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义∫−∞∞f(x)δ(x)dx=f(0)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x=f(0)∫−∞∞f(x)δ(x)dx=f(0)

δ\deltaδ函数也可以理解为（任意阶可微）函数序列的极限。
凡是具有lim⁡l→0∫−∞∞f(x)δl(x)dx=f(0)\lim _{l \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_{l}(x) \mathrm{d} x=f(0)liml→0∫−∞∞f(x)δl(x)dx=f(0)性质的函数序列δl(x)\delta_l(x)δl(x)，或是具有lim⁡n→∞∫−∞∞f(x)δn(x)dx=f(0)\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)limn→∞∫−∞∞f(x)δn(x)dx=f(0)性质的函数序列δn(x)\delta_n(x)δn(x)，他们的极限都是δ\deltaδ函数。
比如：δ(x)=lim⁡n→∞nπe−n2x2\delta(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}}δ(x)=limn→∞πne−n2x2
δ(x)=lim⁡n→∞nπ11+n2x2\delta(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\pi} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}δ(x)=limn→∞πn1+n2x21
δ(x)=sin⁡nxπx\delta(x)=\frac{\sin n x}{\pi x}δ(x)=πxsinnx
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δ\deltaδ函数的基本运算规则

δ\deltaδ函数和常数c的乘积
∫−∞∞f(x)cδ(x)dx=∫−∞∞cf(x)δ(x)dx=cf(0)\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) c \delta(x) \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{\infty} c f(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=c f(0) \end{aligned}∫−∞∞f(x)cδ(x)dx=∫−∞∞cf(x)δ(x)dx=cf(0)
平移变换，x→x−ax \rightarrow x-ax→x−a：
∫−∞∞f(x)δ(x−a)dx=∫−∞∞f(t+a)δ(t)dt=f(a)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-a) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(t+a) \delta(t) \mathrm{d} t=f(a)∫−∞∞f(x)δ(x−a)dx=∫−∞∞f(t+a)δ(t)dt=f(a)
放大或缩小，x→αxx \rightarrow \alpha xx→αx：
∫−∞∞f(x)δ(αx)dx=∫−∞∞f(t/α)δ(t)dt∣α∣=1∣α∣f(0)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(\alpha x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(t / \alpha) \delta(t) \frac{\mathrm{d} t}{|\alpha|}=\frac{1}{|\alpha|} f(0)∫−∞∞f(x)δ(αx)dx=∫−∞∞f(t/α)δ(t)∣α∣dt=∣α∣1f(0)
这意味着δ(αx)=1∣α∣δ(x)\delta(\alpha x)=\frac{1}{|\alpha|} \delta(x)δ(αx)=∣α∣1δ(x)
特别是α=−1\alpha=-1α=−1时，δ(−x)=δ(x)\delta(-x)=\delta(x)δ(−x)=δ(x)
delta函数的导数：对于在x=0点连续并有连续导数的任意函数f(x),有
∫−∞∞f(x)δ′(x)dx=f(x)δ(x)∣−∞∞−∫−∞∞f′(x)δ(x)dx=−f′(0)\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(x) \mathrm{d} x &=f(x) \delta\left.(x)\right|_{-\infty} ^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f^{\prime}(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=-f^{\prime}(0) \end{aligned}∫−∞∞f(x)δ′(x)dx=f(x)δ(x)∣−∞∞−∫−∞∞f′(x)δ(x)dx=−f′(0)
这里就把delta函数当作普通的连续函数一样进行分部积分。
delta函数的高阶导数：对于在x=0点连续并有n阶连续导数的任意函数f(x),有
∫−∞∞f(x)δ(n)(x)dx=(−)nf(n)(0)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{(n)}(x) \mathrm{d} x=(-)^{n} f^{(n)}(0)∫−∞∞f(x)δ(n)(x)dx=(−)nf(n)(0)
delta函数与普通函数的乘积，g(x)δ(x)g(x) \delta(x)g(x)δ(x)：
∫−∞∞f(x)g(x)δ(x)dx=∫−∞∞f(x)g(x)δ(x)dx=f(0)g(0)\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta(x) \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=f(0) g(0) \end{aligned}∫−∞∞f(x)g(x)δ(x)dx=∫−∞∞f(x)g(x)δ(x)dx=f(0)g(0)
即f(x)δ(x)=f(0)δ(x)f(x) \delta(x)=f(0) \delta(x)f(x)δ(x)=f(0)δ(x)
例如 xδ(x)=0x \delta(x)=0xδ(x)=0

Remarks
有关δ\deltaδ函数的等式，均应从积分意义下去理解
对于δ\deltaδ函数的运算，总是设法转移到“普通函数f(x)”上去
例如，对于xδ(x)=0x \delta(x)=0xδ(x)=0就应该理解为
∫−∞∞f(x)xδ(x)dx=0\int_{-\infty}^{\infty} f(x) x \delta(x) \mathrm{d} x=0∫−∞∞f(x)xδ(x)dx=0

Exercise（答案见课本P394）
1 计算积分∫−∞∞sin⁡xxdx\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x∫−∞∞xsinxdx
2 计算积分∫−∞∞sin⁡2xx2+x+1dx\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin 2 x}{x^{2}+x+1} d x∫−∞∞x2+x+1sin2xdx

δ\deltaδ函数按完备函数组展开

Fourier展开
设有周期函数f(x)f(x)f(x),f(x)=f(x+2π)f(x)=f(x+2 \pi)f(x)=f(x+2π),且满足Dirichlet条件，则可以展开为f(x)=∑n=−∞∞cneinxf(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n x}f(x)=∑n=−∞∞cneinx
其展开系数为cn=12π∫ππf(x)e−inxdxc_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int_{\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n x} \mathrm{d} xcn=2π1∫ππf(x)e−inxdx
若将cn代回原级数，且交换积分与求和次序
f(x)=∫−ππf(ξ)[12π∑n=−∞∞ein(x−ξ)]dξf(x)=\int_{-\pi}^{\pi} f(\xi)\left[\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n(x-\xi)}\right] \mathrm{d} \xif(x)=∫−ππf(ξ)[2π1∑n=−∞∞ein(x−ξ)]dξ
这表明
δ(ξ−x)=12π∑n=−∞∞ein(x−ξ)−π<x<π\delta(\xi-x)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n(x-\xi)} \quad-\pi<x<\piδ(ξ−x)=2π1∑n=−∞∞ein(x−ξ)−π<x<π

常微分方程的Green函数

常微分方程的Green函数：初值问题
常微分方程的Green函数：边值问题

EX19.4 求解常微分方程初值问题
d2gdx2=δ(x−t)x,t>0\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}=\delta(x-t) \quad x, t>0dx2d2g=δ(x−t)x,t>0
g∣x=0=0dgdx∣x=0=0\left.g\right|_{x=0}=0 \quad\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0g∣x=0=0dxdg∣∣∣x=0=0

解答：直接积分dgdx=η(x−t)+α(t)\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}=\eta(x-t)+\alpha(t)dxdg=η(x−t)+α(t)
再积分g(x;t)=(x−t)η(x−t)+α(t)x+β(t)g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)+\alpha(t) x+\beta(t)g(x;t)=(x−t)η(x−t)+α(t)x+β(t)
g∣x=0=0⇒β(t)=0dgdx∣x=0=0⇒α(t)=0\begin{array}{lll}{\left.g\right|_{x=0}=0} & {\Rightarrow \beta(t)=0} \\ {\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0} & {\Rightarrow \alpha(t)=0}\end{array}g∣x=0=0dxdg∣∣∣x=0=0⇒β(t)=0⇒α(t)=0
g(x;t)=(x−t)η(x−t)g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)g(x;t)=(x−t)η(x−t)
解析：题目的物理意义，d2gdx2\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}dx2d2g代表加速度，在质点所加的力，这个力旨在x=t这样的时刻给了一个脉冲性的力，总量：积分后等于1.初始位置是0，加了力以后才开始运动。

有了EX19.4现在就可以求解下面的问题了
d2ydx2=f(x)x>0y(0)=0y′(0)=0\begin{array}{ll}{\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}=f(x)} & {x>0} \\ {y(0)=0} & {y^{\prime}(0)=0}\end{array}dx2d2y=f(x)y(0)=0x>0y′(0)=0

解答：因为f(x)=∫0∞f(t)δ(x−t)dtf(x)=\int_{0}^{\infty} f(t) \delta(x-t) \mathrm{d} tf(x)=∫0∞f(t)δ(x−t)dt，所以根据现行常微分方程解的叠加性，有（形式）解
y(x)=∫0∞g(x;t)f(t)dt=∫0x(x−t)f(t)dty(x)=\int_{0}^{\infty} g(x ; t) f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} ty(x)=∫0∞g(x;t)f(t)dt=∫0x(x−t)f(t)dt

常微分方程的初值问题

EX19.5 常微分方程的初值问题
d2gdx2+k2g(x;t)=δ(x−t)x,t>0\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}+k^{2} g(x ; t)=\delta(x-t) \quad x, t>0dx2d2g+k2g(x;t)=δ(x−t)x,t>0
g∣x=0=0dgdx∣x=0=0\left.g\right|_{x=0}=0 \quad\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0g∣x=0=0dxdg∣∣∣x=0=0

能否直接写出非齐次常微分方程的通解？
当x≠tx \neq tx̸=t时，方程的非齐次项为0
求出区间(0,t)(0,t)(0,t)内既满足齐次方程、又满足齐次初始条件的解…一定为零解
写出区间(t,∞)(t,\infty)(t,∞)内齐次微分方程的解
由x=tx=tx=t点处的连续性的要求定出Green函数
区间(0,t)(0,t)(0,t)内
d2gdx2+k2g=0\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}+k^{2} g=0dx2d2g+k2g=0
g∣x=0=0\left.g\right|_{x=0}=0g∣x=0=0
dgdx∣x=0=0\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0dxdg∣∣∣x=0=0
在x=tx=tx=t点
g(x;t)∣t−0t+0=0g\left.(x ; t)\right|_{t-0} ^{t+0}=0g(x;t)∣t−0t+0=0
dgdx∣t−0t+0=1\left.\frac{d g}{d x}\right|_{t-0} ^{t+0}=1dxdg∣∣∣t−0t+0=1
区间(t,∞)(t,\infty)(t,∞)
d2gdx2+k2g=0\frac{d^{2} g}{d x^{2}}+k^{2} g=0dx2d2g+k2g=0
解：g(x;t)=[C(t)sin⁡kx+D(t)cos⁡kx]η(x−t)g(x ; t)=[C(t) \sin k x+D(t) \cos k x] \eta(x-t)g(x;t)=[C(t)sinkx+D(t)coskx]η(x−t)
g(x;t)g(x ; t)g(x;t)连续 dg(x;t)dx∣t−0t+0=1\left.\frac{\mathrm{d} g(x ; t)}{\mathrm{d} x}\right|_{t-0} ^{t+0}=1dxdg(x;t)∣∣∣t−0t+0=1
C(t)=1kcos⁡ktD(t)=−1ksin⁡ktC(t)=\frac{1}{k} \cos k t \qquad D(t)=-\frac{1}{k} \sin k tC(t)=k1cosktD(t)=−k1sinkt
g(x;t)=1ksin⁡k(x−t)η(x−t)g(x ; t)=\frac{1}{k} \sin k(x-t) \eta(x-t)g(x;t)=k1sink(x−t)η(x−t)
思考：现在能否写出如下非齐次方程的通解
d2gdx2+k2g(x;t)=δ(x−t)x,t>0\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}+k^{2} g(x ; t)=\delta(x-t) \quad x, t>0dx2d2g+k2g(x;t)=δ(x−t)x,t>0

也能将上例的解用于求解非齐次方程初值问题
d2ydx2+k2y(x)=f(x)x>0\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}+k^{2} y(x)=f(x) \quad x>0dx2d2y+k2y(x)=f(x)x>0
y(0)=0y′(0)=0y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=0y(0)=0y′(0)=0

** y(x)=1k∫0xf(t)sin⁡k(x−t)dty(x)=\frac{1}{k} \int_{0}^{x} f(t) \sin k(x-t) \mathrm{d} ty(x)=k1∫0xf(t)sink(x−t)dt

Remarks
对于一般的常微分方程初值问题的Green函数
ddx[p(x)dg(x;t)dx]+q(x)g(x;t)=δ(x−t)x,t>0\frac{d}{d x}\left[p(x) \frac{d g(x ; t)}{d x}\right]+q(x) g(x ; t)=\delta(x-t) \quad x, t>0dxd[p(x)dxdg(x;t)]+q(x)g(x;t)=δ(x−t)x,t>0
g(0;t)=0dg(x;t)dx∣x=0=0g(0 ; t)=0 \quad\left.\frac{d g(x ; t)}{d x}\right|_{x=0}=0g(0;t)=0dxdg(x;t)∣∣∣x=0=0
且相应的齐次微分方程无奇点

g(x;t)g(x ; t)g(x;t)在x<tx<tx<t时一定为0
g(x;t)g(x ; t)g(x;t)在x=tx=tx=t时一定连续
dg(x;t)dx∣t−0t+0=1p(t)\left.\frac{\mathrm{d} g(x ; t)}{\mathrm{d} x}\right|_{t-0} ^{t+0}=\frac{1}{p(t)}dxdg(x;t)∣∣∣t−0t+0=p(t)1

常微分方程的边值问题

EX19.6 求解常微分方程的边值问题
d2gdx2=δ(x−t)a<x,t<b\frac{d^{2} g}{d x^{2}}=\delta(x-t) \quad a<x, t<bdx2d2g=δ(x−t)a<x,t<b
g(a;t)=0g(b;t)=0g(a ; t)=0 \quad g(b ; t)=0g(a;t)=0g(b;t)=0
微分方程和EX19.4相同，故有相同的通解
g(x;t)=(x−t)η(x−t)+α(t)x+β(t)g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)+\alpha(t) x+\beta(t)g(x;t)=(x−t)η(x−t)+α(t)x+β(t)
aα(t)+β(t)=0b−t+bα(t)+β(t)=0a \alpha(t)+\beta(t)=0 \quad b-t+b \alpha(t)+\beta(t)=0aα(t)+β(t)=0b−t+bα(t)+β(t)=0
α(t)=−b−tb−aβ(t)=a(b−t)b−a\alpha(t)=-\frac{b-t}{b-a} \quad \beta(t)=\frac{a(b-t)}{b-a}α(t)=−b−ab−tβ(t)=b−aa(b−t)
g(x;t)=(x−t)η(x−t)−b−tb−a(x−a)g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)-\frac{b-t}{b-a}(x-a)g(x;t)=(x−t)η(x−t)−b−ab−t(x−a)
问题：
本例中的Green函数g(x;t)g(x ; t)g(x;t)是否仍然满足
g(x;t)g(x ; t)g(x;t)在x=tx=tx=t点连续
dg(x;t)dx\frac{\mathrm{d} g(x ; t)}{\mathrm{d} x}dxdg(x;t)在x=tx=tx=t点不连续dg(x;t)dx∣t−0t+0=1\left.\frac{d g(x ; t)}{d x}\right|_{t-0} ^{t+0}=1dxdg(x;t)∣∣∣t−0t+0=1

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