5 冲激函数——δ\deltaδ函数

5.1 冲激函数——δ\deltaδ函数的定义和频谱

Q: 如何理解“δ(t)=+∞,t=0;δ(t)=0,t≠0\delta(t)=+\infty, t=0;\delta(t)=0,t\ne 0δ(t)=+∞,t=0;δ(t)=0,t=0和∫−∞+∞δ(t)dt\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)dt∫−∞+∞δ(t)dt只反映了δ\deltaδ函数的两个特点，我们需要从δ\deltaδ函数与其他函数的关系中了解δ\deltaδ函数”？
A: δ\deltaδ函数反映了某种工程中“结果导向”的思想。不管你具体结构，只要你“筛选性质”（和其他函数作用时特定关系）成立，就称为δ\deltaδ函数。“筛选性质”是其核心之义，而那两个特点只是自然推论。
Q: 用频谱证明函数列极限是冲激函数怎么做？
A: 提示：1和δ\deltaδ是傅里叶变换对。实际上相当于证明频谱极限为常数1
更详细地，只需要证明limλ→β∫−∞+∞Gλ(−f)Φ(f)df=ϕ(0)lim_{\lambda\to\beta}\int_{-\infty}^{+\infty}G_\lambda(-f)\Phi(f)df=\phi(0)limλ→β∫−∞+∞Gλ(−f)Φ(f)df=ϕ(0)这样“和试验函数作用的极限”即可。（即：在试验函数“看来”频谱极限为常数1）
Q: 背诵cos2πf0tcos2\pi f_0 tcos2πf0t的频谱。
A: 提示：ei2πf0te^{i2\pi f_0 t}ei2πf0t就是“单频”，也就是δ(f−f0)\delta(f-f_0)δ(f−f0)，则cos2πf0tcos2\pi f_0 tcos2πf0t频谱当然就是12(δ(f−f0)+δ(f+f0))\frac 12(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0))21(δ(f−f0)+δ(f+f0))
Q: 用时域微分考察sgntsgntsgnt.
A: sgntsgntsgnt频谱1/iπf1/i\pi f1/iπf，2δ(t)2\delta(t)2δ(t)频谱就是1/iπf⋅2iπf=21/i\pi f\cdot 2i\pi f=21/iπf⋅2iπf=2.
注：若微分后频谱S(f)S(f)S(f)不包含δ(t)\delta(t)δ(t)成分，那么S(f)/2iπfS(f)/2i\pi fS(f)/2iπf也不包含。故S(f)/2iπfS(f)/2i\pi fS(f)/2iπf一定唯一对应频谱无δ(t)\delta(t)δ(t)成分的那个积分结果，例如此处sgntsgntsgnt。（即：指定积分常数，避免不唯一性）
Q: 试验函数和针对广义函数的运算有何联系？
A: 广义函数是基本空间D\mathscr DD上的线性连续泛函，基本空间上试验函数性质很好。故对广义函数的一些运算转移到试验函数上。
（即：可以不“显式知道”计算结果，只需要知道计算结果和试验函数间如何作用即可。如对广义函数求导，只需知道形式记号δ′(t)\delta'(t)δ′(t)在和试验函数作用时有何结果即可）
Q: 接上，对广义函数求导举例说明。
A: ⟨f′,ϕ⟩=−⟨f,ϕ′⟩\langle f', \phi\rangle=-\langle f,\phi' \rangle⟨f′,ϕ⟩=−⟨f,ϕ′⟩，其实是分部积分法，并利用试验函数在有限区间之外都为0的性质。

5.2 δ\deltaδ函数的微商

Q: δ\deltaδ函数微商的频谱有何作用？
A: 例：对于多项式、多项式乘以三角函数等可以快速给出傅里叶变换对。
Q: 如何求δ\deltaδ函数微商和普通的连续函数的乘积？
A: 根据定义计算：∫βδ(k)ϕdt=(−1)k(βϕ)(k)=⋯(乘积求导，莱布尼兹公式)\int \beta \delta^{(k)}\phi dt = (-1)^k(\beta\phi)^{(k)}=\cdots(乘积求导，莱布尼兹公式)∫βδ(k)ϕdt=(−1)k(βϕ)(k)=⋯(乘积求导，莱布尼兹公式)

5.3 用δ\deltaδ函数求函数的微商和频谱

Q: 单位阶跃函数的微商和上节有何联系？
A: 可以由微积分基本定理直观直接看出结果：u′(t)=δ(t)u'(t)=\delta(t)u′(t)=δ(t).
也可以用上节⟨u′,ϕ⟩=−⟨u,ϕ′⟩\langle u', \phi\rangle=-\langle u,\phi'\rangle⟨u′,ϕ⟩=−⟨u,ϕ′⟩看出。
Q: 用δ\deltaδ函数表示间断函数的微商时，如何理解公式g(k)(t)=∑l=0k−1(g(l)(t0+)−g(l)(t0−))δ(k−l)(t−t0)+u(t0−t)g1(k)(t)+u(t−t0)g2(k)(t)g^{(k)}(t)=\sum_{l=0}^{k-1}(g^{(l)}(t_0+)-g^{(l)}(t_0-))\delta^{(k-l)}(t-t_0)+u(t_0-t)g_1^{(k)}(t)+u(t-t_0)g_2^{(k)}(t)g(k)(t)=∑l=0k−1(g(l)(t0+)−g(l)(t0−))δ(k−l)(t−t0)+u(t0−t)g1(k)(t)+u(t−t0)g2(k)(t)对于t0t_0t0是g(k)(t)g^{(k)}(t)g(k)(t)连续点时仍成立？
A: 根据微积分基本定理，若t0t_0t0是g(k)(t)g^{(k)}(t)g(k)(t)连续点，则也是上式中g(l)(t)g^{(l)}(t)g(l)(t)连续点，则第一项为0.
注：0δ(t)=00\delta(t)=00δ(t)=0并不是所谓“0⋅∞0\cdot \infty0⋅∞不定式”，请回忆广义函数定义。注意f(t)=1,t=0;f(t)=0,f≠0f(t)=1,t=0;f(t)=0,f\ne 0f(t)=1,t=0;f(t)=0,f=0和f(t)≡0f(t)\equiv 0f(t)≡0处于同一等价类。
第二、三项中，g1=g2g_1=g_2g1=g2，只需保证u(t0−t)+u(t−t0)≡1u(t_0-t)+u(t-t_0)\equiv 1u(t0−t)+u(t−t0)≡1即可，而这显然成立（此处看到定义u(0)=1/2u(0)=1/2u(0)=1/2是有理由的）
Q: 用δ\deltaδ函数求频谱时，如何克服积分导致的不唯一性问题？（回忆5.1节题3.）
A: 只要确保做微分前后频谱不含δ(t)\delta(t)δ(t)成分即可。比如sgnsgnsgn.
再比如：对于kkk次微分，有限区域外全为0的函数微分前后频谱不含δ(t),δ′(t),⋯,δ(k−1)(t)\delta(t),\delta'(t),\cdots,\delta^{(k-1)}(t)δ(t),δ′(t),⋯,δ(k−1)(t)成分
（直接根据定义δ\deltaδ函数微商定义，用∫∫x(t)e−i2πftdt⋅Φ(f)df=0\int\int x(t)e^{-i2\pi ft}dt\cdot \Phi(f) df=0∫∫x(t)e−i2πftdt⋅Φ(f)df=0即可说明这点。其中Φ(f)\Phi(f)Φ(f)是只有0附近有非零mmm阶导数而大部分地方为0的函数）
（x(t)x(t)x(t)在0处间断，或者有δ(t)\delta(t)δ(t)，都不影响。只有x(t)x(t)x(t)出现了非零的多项式成分c0+c1tc_0+c_1tc0+c1t等等才影响）
这就说明可以把δ\deltaδ函数和其微商线性组合的频谱S(f)S(f)S(f)直接除以(i2πf)m(i2\pi f)^m(i2πf)m得到结果，如同课本例1.

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数字信号处理学习笔记[5] 冲激函数——delta函数

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5 冲激函数——δ\deltaδ函数

5.1 冲激函数——δ\deltaδ函数的定义和频谱

5.2 δ\deltaδ函数的微商

5.3 用δ\deltaδ函数求函数的微商和频谱

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