视觉SLAM十四讲 第9讲 后端1 贝叶斯法则 式9.5推导
视觉SLAM十四讲 第9讲 后端1 贝叶斯法则 式9.5推导
在学习高博的视觉SLAM十四讲第9讲后端1的时候，看到了式9.5，有如下内容：
下面我们来看如何对状态进行估计。按照贝叶斯法则，把zkz_kzk和xkx_kxk交换位置，有：
P(xk∣x0,u1:k,z1:k)∝P(zk∣xk)P(xk∣x0,u1:k,z1:k−1)(9.5)P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k})\propto P(z_k|x_k)P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})\tag{9.5}P(xk∣x0,u1:k,z1:k)∝P(zk∣xk)P(xk∣x0,u1:k,z1:k−1)(9.5)
读者应该不会感到陌生。这里的第一项称为似然，第二项称为先验。
我最讨厌这种有“易知”、“容易推出”、“即可得”但是又不明白怎么来的的感觉。贝叶斯定理基本的我知道，似然我知道，先验我知道，可是你说交换了位置就直接有了这个式子是怎么来的呢。。。为了解决这种痛苦，请了数理学院的大佬帮忙推导博客主页
关键点在于：
- 式9.5的推导是省略了一些步骤的
- 关键点在于P235页的式9.3。xkx_kxk和u,zu,zu,z有关，而zkz_kzk只和当前时刻的xkx_kxk有关。意思是说zkz_kzk和x0,u1:k,z1:k−1x_0,u_{1:k},z_{1:k-1}x0,u1:k,z1:k−1是相互独立的。
- 所以可以根据贝叶斯定理、条件概率公式、相互独立的性质进行推导
基本的公式/性质：
贝叶斯定理：P(A∣B)=P(B∣A)P(A)P(B)P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(B∣A)P(A)
条件概率：P(A∣B)=P(AB)P(B)P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(AB)
相互独立：若A与B相互独立，则P(A∣B)=P(A)P(A|B)=P(A)P(A∣B)=P(A)
现在可以开始推导，为了书写的简洁，我们令事件集(x0,u1:k,z1:k−1)=B(x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})=B(x0,u1:k,z1:k−1)=B：
P(xk∣x0,u1:k,z1:k)=P(xk∣B,zk)=P(xk,B,zk)P(B,zk)=P(zk∣xk,B)P(xk,B)P(B,zk)=P(zk∣xk)P(xk,B)P(B,zk)=P(zk∣xk)P(xk∣B)P(B)P(B)P(zk)=P(zk∣xk)P(xk∣B)P(zk)=P(zk∣xk)P(xk∣x0,u1:k,z1:k−1)P(zk)\begin{aligned}P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k}) &= P(x_k|B,z_k) \\ &= \frac{P(x_k,B,z_k)}{P(B,z_k)} = \frac{P(z_k|x_k,B)P(x_k,B)}{P(B,z_k)} \\ &= \frac{P(z_k|x_k)P(x_k,B)}{P(B,z_k)}\\ &= \frac{P(z_k|x_k)P(x_k|B)P(B)}{P(B)P(z_k)} \\ &= \frac{P(z_k|x_k)P(x_k|B)}{P(z_k)} \\ &= \frac{P(z_k|x_k)P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})}{P(z_k)}\end{aligned}P(xk∣x0,u1:k,z1:k)=P(xk∣B,zk)=P(B,zk)P(xk,B,zk)=P(B,zk)P(zk∣xk,B)P(xk,B)=P(B,zk)P(zk∣xk)P(xk,B)=P(B)P(zk)P(zk∣xk)P(xk∣B)P(B)=P(zk)P(zk∣xk)P(xk∣B)=P(zk)P(zk∣xk)P(xk∣x0,u1:k,z1:k−1)
式子推导过程中应用到了贝叶斯定理、条件概率和事件相互独立的性质，最后把P(zk)P(z_k)P(zk)略去，把等于号变成正比于符号，便有：
P(xk∣x0,u1:k,z1:k)∝P(zk∣xk)P(xk∣x0,u1:k,z1:k−1)P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k}) \propto P(z_k|x_k)P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})P(xk∣x0,u1:k,z1:k)∝P(zk∣xk)P(xk∣x0,u1:k,z1:k−1)
敲公式不易，点个赞再走吧~~~
如果大佬觉得有什么更好的推导或者理解思路，欢迎留言一起讨论~~
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