欧拉线 Euler line

定理：三角形的垂心(orthocenter)、重心(centroid)、外心(circumcenter)共线，且重心到垂心的距离等于重心到外心的距离的两倍。过三角形的垂心、重心、外心的直线称为欧拉线(Euler line)。

可以在这里感受一下。

证明：

令△ABC\triangle_{ABC}△ABC的垂心，重心，外心分别为O1,O2,O3O_1,O_2,O_3O1,O2,O3

分别作AB,BC,CAAB,BC,CAAB,BC,CA的中点E,F,DE,F,DE,F,D，则EF,ED,FDEF,ED,FDEF,ED,FD是△ABC\triangle_{ABC}△ABC的中位线，△ABC∼△FDE\triangle_{ABC}\sim \triangle_{FDE}△ABC∼△FDE且相似比为2:12:12:1。

由重心的性质得BDBDBD过O2O_2O2且BO2DO2=2\frac{BO_2}{DO_2} = 2DO2BO2=2。

由垂心的定义得O1B⊥ACO_1B\perp ACO1B⊥AC。

由于外心是边的垂直平分线的交点，且DDD是ACACAC的中点，所以O3D⊥ACO_3D\perp ACO3D⊥AC。所以有O1B∥O2DO_1B \parallel O_2DO1B∥O2D。

由于EF∥AC,O3D⊥ACEF\parallel AC, O_3D\perp ACEF∥AC,O3D⊥AC，所以O3D⊥EFO_3D\perp EFO3D⊥EF。同理可以证明，O3F⊥ED,O3E⊥FDO_3F\perp ED,O_3E\perp FDO3F⊥ED,O3E⊥FD。所以△ABC\triangle_{ABC}△ABC的外心和△DEF\triangle_{DEF}△DEF的垂心重合。

由△ABC∼△FDE\triangle_{ABC}\sim \triangle_{FDE}△ABC∼△FDE知BBB到△ABC\triangle_{ABC}△ABC的垂心的距离等于DDD到△DEF\triangle_{DEF}△DEF的垂心的距离的两倍，也就是说2DO3=BO12DO_3=BO_12DO3=BO1。又因为2DO2=BO2,∠O1BO2=∠O2DO32DO_2 = BO_2,\angle O_1BO_2 = \angle O_2DO_32DO2=BO2,∠O1BO2=∠O2DO3，所以△BO2O1∼△DO2O3\triangle_{BO_2O_1}\sim \triangle_{DO_2O_3}△BO2O1∼△DO2O3。

由△BO2O1∼△DO2O3\triangle_{BO_2O_1}\sim \triangle_{DO_2O_3}△BO2O1∼△DO2O3知O1O2O2O3=BO2DO2=2\frac{O_1O_2}{O_2O_3} = \frac{BO_2}{DO_2} = 2O2O3O1O2=DO2BO2=2，∠BO2O1=∠DO2O3\angle BO_2O_1 = \angle DO_2O_3∠BO2O1=∠DO2O3。又因为B,O2,DB,O_2,DB,O2,D共线，所以O1,O2,O3O_1,O_2,O_3O1,O2,O3共线。

证毕。

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