初等数学I 自然数第二节序数理论基础与自然数的运算

这一讲介绍自然数的序数理论，这是有别于基数理论的另一套公理体系。之所以需要发展另一套公理体系是因为基数理论是依赖集合论建立起来的，集合论作为一种分析工具是非常好用的，但我们不希望把各种各样的数学结构都建立在集合上。自然数的序数理论的基础是Peano公理(1889)，它的思想非常简单，就是对我们小时候学数数的思路的抽象化。小时候学数数的时候都是先学从1数到10然后再学从1数到100，数的时候家长会教1之后是2，2之后是3，这种followed by的关系就能很自然地反应自然数的先后顺序。那么我们把这种什么之后是什么的关系抽象化，定义一个关系叫后继，用上标+表示，比如1之后是2，用后继表示就是1+=21^+=21+=2，那么怎么基于这个关系对整个自然数集进行定义呢？

定义1.3 自然数与Peano公理
N\mathbb{N}N是一个非空集合，如果这个集合上定义有后继关系+^++，并且满足Peano公理，就称这个集合是一个自然数集，它的元素叫自然数。Peano公理：

1∈N1 \in \mathbb{N}1∈N
∀a∈N,∃!a+∈N\forall a \in \mathbb{N}, \exists !a^+ \in \mathbb{N}∀a∈N,∃!a+∈N
∀a∈N,a+≠1\forall a \in \mathbb{N}, a^+ \ne 1∀a∈N,a+=1
∀a,b∈N\forall a,b \in \mathbb{N}∀a,b∈N, a+=b+⇒a=ba^+ = b^+ \Rightarrow a = ba+=b+⇒a=b
（归纳公理）如果M⊆NM \subseteq \mathbb{N}M⊆N满足1∈M1 \in M1∈M以及∀a∈M\forall a \in M∀a∈M, a+∈Ma^+ \in Ma+∈M，则M=NM = \mathbb{N}M=N

评注1.3
(i) 基数理论定义的自然数集第一个元素是0(空集的势)，但按照Peano公理1和3，自然数集的第一个元素是1。公理2和4说明每一个自然数后都只紧跟一个自然数，公理5比较有趣，它说的是只要某集合包含1，并且包含每一个元素的后继，那么这个集合就是自然数，下一节我们将用公理5导出数学归纳法。

(ii) 基于序数理论定义自然数的加法：∀a,b∈N\forall a, b\in \mathbb{N}∀a,b∈N, 用a+ba+ba+b表示加法，它满足下面两个运算规则：

a+1=a+a+1=a^+a+1=a+
(a+b)+=a+b+(a+b)^+=a+b^+(a+b)+=a+b+

例1.2 证明下面的等式

1+1=21+1=21+1=2
2+3=52+3=52+3=5

证
第一个式子：根据加法的第一个运算规则，1+1=1+=21+1=1^+=21+1=1+=2；
第二个式子：根据加法的第二个运算规则，
2+3=2+2+=(2+2)+=(2+1+)+=((2+1)+)+=((2+)+)+=(3+)+=4+=52+3=2+2^+ = (2+2)^+=(2+1^+)^+ \\=((2+1)^+)^+ = ((2^+)^+)^+=(3^+)^+=4^+=52+3=2+2+=(2+2)+=(2+1+)+=((2+1)+)+=((2+)+)+=(3+)+=4+=5
(iii) 基于序数理论定义自然数的乘法：∀a,b∈N\forall a, b\in \mathbb{N}∀a,b∈N, 用a⋅ba\cdot ba⋅b表示加法，它满足下面两个运算规则：

a⋅1=aa \cdot 1=aa⋅1=a
a⋅b+=a⋅b+aa \cdot b^+ = a \cdot b + aa⋅b+=a⋅b+a

例1.3 证明等式3⋅4=123 \cdot 4 = 123⋅4=12

证明
根据第二个运算规则，
3⋅4=3⋅3+=3⋅3+3=3⋅2++3=3⋅2+3+3=3⋅1++3+3=3⋅1+3+3+33 \cdot 4 = 3 \cdot 3^+ =3 \cdot 3+3 = 3 \cdot 2^+ +3 = 3 \cdot 2 + 3+ 3 \\ = 3 \cdot 1^+ + 3+ 3 = 3 \cdot 1 + 3+ 3+33⋅4=3⋅3+=3⋅3+3=3⋅2++3=3⋅2+3+3=3⋅1++3+3=3⋅1+3+3+3

根据第一个运算规则，3⋅1=33 \cdot 1 = 33⋅1=3，所以
3⋅4=3+3+3+33 \cdot 4 = 3+3+3+33⋅4=3+3+3+3

计算
3+3=3+2+=(3+2)+=(3+1+)+=((3+1)+)+=(4+)+=5+=63+3=3+2^+=(3+2)^+ =(3+1^+)^+ \\= ((3+1)^+)^+ =(4^+)^+=5^+ = 63+3=3+2+=(3+2)+=(3+1+)+=((3+1)+)+=(4+)+=5+=6

计算
6+3=6+2+=(6+2)+=(6+1+)+=((6+1)+)+=(7+)+=8+=96+3=6+2^+=(6+2)^+=(6+1^+)^+ \\ = ((6+1)^+)^+ = (7^+)^+=8^+=96+3=6+2+=(6+2)+=(6+1+)+=((6+1)+)+=(7+)+=8+=9

计算
9+3=9+2+=(9+2)+=(9+1+)+=((9+1)+)+=(10+)+=11+=129+3=9+2^+=(9+2)^+=(9+1^+)^+ \\ = ((9+1)^+)^+=(10^+)^+=11^+=129+3=9+2+=(9+2)+=(9+1+)+=((9+1)+)+=(10+)+=11+=12

综上，3⋅4=123 \cdot 4 = 123⋅4=12。

定理 1.3

(N,+)(\mathbb{N},+)(N,+)是一个半群，且满足交换律；
(N,⋅)(\mathbb{N},\cdot)(N,⋅)是一个幺半群，且满足交换律；
右分配律：∀a,b,c∈N\forall a,b,c \in \mathbb{N}∀a,b,c∈N, (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(a+b)\cdot c = a \cdot c+b \cdot c(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
左分配律：∀a,b,c∈N\forall a,b,c \in \mathbb{N}∀a,b,c∈N, c⋅(a+b)=c⋅a+c⋅ac \cdot (a+b) = c \cdot a+c \cdot ac⋅(a+b)=c⋅a+c⋅a

证明
第一个结论。先说明加法的封闭性，即∀a,b∈N,∃!(a+b)∈N\forall a,b \in \mathbb{N},\exists ! (a+b) \in \mathbb{N}∀a,b∈N,∃!(a+b)∈N。类似例1.2的操作，不难验证
a+b=a++⋯+⏟b个∈Na+b=a^{\underbrace{++\cdots +}_{b个}} \in \mathbb{N}a+b=ab个++⋯+∈N

根据Peano公理，每个元素的后继唯一，于是a++⋯+⏟b个a^{\underbrace{++\cdots +}_{b个}}ab个++⋯+唯一。

接下来说明加法的交换律，不失一般性，假设b>ab>ab>a，
a+b=a++⋯+⏟b个=(a++⋯+⏟(b−a)个)++⋯+⏟a个=b++⋯+⏟a个=b+aa+b=a^{\underbrace{++\cdots +}_{b个}}=\left(a^{\underbrace{++\cdots +}_{(b-a)个}}\right)^{\underbrace{++\cdots +}_{a个}}=b^{\underbrace{++\cdots +}_{a个}}=b+aa+b=ab个++⋯+=(a(b−a)个++⋯+)a个++⋯+=ba个++⋯+=b+a

然后说明加法的结合律，不失一般性，假设a=min⁡(a,b,c)a=\min(a,b,c)a=min(a,b,c)
(a+b)+c=a++⋯+⏟b个+c=a++⋯+⏟(b+c)个=(a++⋯+⏟(b−a)个)++⋯+⏟(c+a)个=b++⋯+⏟(c+a)个=(b+c)+a=a+(b+c)(a+b)+c=a^{\underbrace{++\cdots +}_{b个}}+c=a^{\underbrace{++\cdots +}_{(b+c)个}}=\left(a^{\underbrace{++\cdots +}_{(b-a)个}}\right)^{\underbrace{++\cdots +}_{(c+a)个}} \\ = b^{\underbrace{++\cdots +}_{(c+a)个}}=(b+c)+a=a+(b+c)(a+b)+c=ab个++⋯++c=a(b+c)个++⋯+=(a(b−a)个++⋯+)(c+a)个++⋯+=b(c+a)个++⋯+=(b+c)+a=a+(b+c)

第二个结论。先说明乘法的封闭性，∀a,b∈N,∃!(a⋅b)∈N\forall a,b \in \mathbb{N},\exists ! (a\cdot b) \in \mathbb{N}∀a,b∈N,∃!(a⋅b)∈N，类似例1.3的操作，
a⋅b=a+a+⋯+a⏟b个a \cdot b=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{b个}a⋅b=b个a+a+⋯+a

因为加法是存在唯一的，于是乘法也是存在唯一的。接下来说明乘法的交换律，不失一般性，假设a<ba<ba<b
b⋅a=b+b+⋯+b⏟a个=a++⋯+⏟(b−a)个+a++⋯+⏟(b−a)个+⋯+a++⋯+⏟(b−a)个⏟a个=a+a+⋯+a⏟b个=a⋅bb \cdot a=\underbrace{b+b+\cdots+b}_{a个}=\underbrace{a^{\underbrace{++\cdots +}_{(b-a)个}}+a^{\underbrace{++\cdots +}_{(b-a)个}}+\cdots+a^{\underbrace{++\cdots +}_{(b-a)个}}}_{a个} \\ = \underbrace{a+a+\cdots+a}_{b个}=a \cdot bb⋅a=a个b+b+⋯+b=a个a(b−a)个++⋯++a(b−a)个++⋯++⋯+a(b−a)个++⋯+=b个a+a+⋯+a=a⋅b

类似的还需要证明乘法的结合律，剩余部分留给读者证明。