密码学之RSA加密原理解析

密码学是指研究信息加密，破解密码的技术科学。密码学的起源可追溯到2000年前。而当今的密码学是以数学为基础的。
密码学的历史大致可以追溯到两千年前，相传古罗马名将凯撒大帝为了防止敌方截获情报，用密码传送情报。凯撒的做法很简单，就是对二十几个罗马字母建立一张对应表。这样，如果不知道密码本，即使截获一段信息也看不懂。从凯撒大帝时代到上世纪70年代这段很长的时间里，密码学的发展非常的缓慢，因为设计者基本上靠经验，没有运用数学原理。

在1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：加密、解密使用同一种算法。在交互数据的时候，彼此通信的双方就必须将规则告诉对方，否则没法解密。那么加密和解密的规则（简称密钥），它保护就显得尤其重要。传递密钥就成为了最大的隐患。这种加密方式被成为对称加密算法（symmetric encryption algorithm）
1976年，两位美国计算机学家 迪菲（W.Diffie）、赫尔曼（ M.Hellman ） 提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成密钥交换。这被称为“迪菲赫尔曼密钥交换”算法。开创了密码学研究的新方向
1977年，三位麻省理工学院的数学家 **罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）**一起设计了一种算法，可以实现非对称加密。这个算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。

2、RSA数学原理

上世纪70年代产生的一种加密算法。其加密方式比较特殊，需要两个密钥：公开密钥简称公钥(publickey)和私有密钥简称私钥(privatekey)。公钥加密，私钥解密；私钥加密，公钥解密。这个加密算法就是伟大的RSA。

2.1 离散对数问题

思考一：有没有加密容易，破解很难的的数学运算？
方案：–>离散对数

3为17的原根
31%17=33^{1} \% 17 = 331%17=3; 32%17=93^{2} \% 17 = 932%17=9; 33%17=103^{3} \% 17 = 1033%17=10;
34%17=133^{4} \% 17 = 1334%17=13; 35%17=53^{5} \% 17 = 535%17=5; 36%17=153^{6} \% 17 = 1536%17=15;
37%17=113^{7} \% 17 = 1137%17=11; 38%17=113^{8} \% 17 = 1138%17=11; 39%17=143^{9} \% 17 = 1439%17=14;
310%17=83^{10} \% 17 = 8310%17=8; 311%17=73^{11} \% 17 = 7311%17=7; 312%17=43^{12} \% 17 = 4312%17=4;
313%17=123^{13} \% 17 = 12313%17=12; 314%17=23^{14} \% 17 = 2314%17=2; 315%17=63^{15} \% 17 = 6315%17=6;
316%17=13^{16} \% 17 = 1316%17=1;
结论：正推很简单，反推很难

模的基本运算 – 预备知识

加法：$(a+b)\ % \ m = (a \ % \ m) + (b \ % \ m) $
减法：$(a-b)\ % \ m = (a \ % \ m) - (b \ % \ m) $
乘法：$(a*b)\ % \ m = (a \ % \ m) * (b \ % \ m) $
除法：一般不做除法运算，因为可能无法取整
幂运算：${(a \ % \ m)}^b = a^b \ % \ m $ —>根据乘法公式计算得来

2.2 欧拉函数φ

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？计算这个值的方式叫做欧拉函数，使用：Φ(n)表示

如: 计算8的欧拉函数，和8互质的 1、2、3、4、5、6、7、8
- φ(8) = 4
计算7的欧拉函数，和7互质的 1、2、3、4、5、6、7
- φ(7) = 6
计算56的欧拉函数
- φ(56) = φ(8) * φ(7) = 4 * 6 = 24

欧拉函数特点

1、当n是质数的时候，φ(n)=n-1。
2、如果n可以分解成两个互质的整数之积
- 如n=A*B则：
  - φ(AB)=φ(A) φ(B)
  - φ(56) = φ(8) * φ(7) = 4 * 6 = 24
3、根据以上两点得到：如果N是两个质数P1 和 P2的乘积则 （两个质数必须互质）
- φ(N)=φ(P1)* φ(P2)=(P1-1)*(P2-1)
- φ(21) = φ(3) * φ(7) = 2*6 = 12
- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 共12个

2.3 欧拉定理

如果两个正整数m和n互质，那么m的φ(n)次方减去1，可以被n整除。

公式: mφ(n)%n=1m^{φ(n)} \%n = 1mφ(n)%n=1
验证：m=3，n=4，则：φ(n) = φ(4) = 2
结果：$3^2 \ % \ 4 = 1 $

2.4 费马小定理

欧拉定理的特殊情况：如果两个正整数m和n互质，而且n为质数！那么φ(n)结果就是n-1。

公式：mφ(n)%n=m(n−1)%n=1m^{φ(n)} \ \%\ n = m^{(n-1)} \ \%\ n = 1mφ(n) % n=m(n−1) % n=1
验证：m=3，n=5，则：φ(n) = φ(5) = 5-1 = 4
结果：34%5=13^4 \ \% \ 5 = 134 % 5=1

2.5 公式换算

公式：mφ(n)%n=1m^{φ(n)} \%\ n = 1mφ(n)% n=1，正整数m和n互质
验证：m=3，n=5，则：φ(n) = φ(5) = 4
结果：34%4=13^4 \ \% \ 4 = 134 % 4=1
公式2：mk∗φ(n)%n=1m^{k*φ(n)} \%\ n = 1mk∗φ(n)% n=1，正整数m和n互质
验证：m=3，n=5，则：φ(n) = φ(5) = 4，假设k=2
结果： $3^8 \ \% \ 4 = 1$
公式3：mk∗φ(n)+1%n=mm^{k*φ(n)+1} \%\ n = mmk∗φ(n)+1% n=m，正整数m和n互质,且m<n
验证：m=3，n=5，则：φ(n) = φ(5) = 4，假设k=1
结果：35%4=33^5 \ \% \ 4 = 335 % 4=3

2.6 模反元素

如果两个正整数e和x互质，那么一定可以找到整数d，使得 e*d-1 被x整除。那么d就是e对于x的“模反元素”

1、e∗d%x=1e*d \ \% \ x = 1e∗d % x=1;
验证：e=3，x=5
找到结果：d=2或d=7或 ……，3*2 % 5 = 1
2、e*d = k*x + 1
当x=φ(n)时，mk∗φ(n)+1%n=mm^{k*φ(n)+1}\ \%\ n = mmk∗φ(n)+1 % n=m --> me∗d%n=mm^{e*d}\ \%\ n = mme∗d % n=m
验证：m=3，n=15, x=φ(n)=φ(15)=φ(3)φ(5) = 24 = 8
接着：取e=3与x=8互质，找到模反元素d=3或11或***
结果：me∗d%n=33∗3%15=3m^{e*d}\ \%\ n = 3^{3*3}\ \%\ 15 = 3me∗d % n=33∗3 % 15=3
3、以上结果做一点延伸：

me∗d%n=33∗3%15=3m^{e*d}\ \%\ n = 3^{3*3}\ \%\ 15 = 3me∗d % n=33∗3 % 15=3
me∗d%n=43∗3%15=4m^{e*d}\ \%\ n = 4^{3*3}\ \%\ 15 = 4me∗d % n=43∗3 % 15=4
me∗d%n=53∗3%15=5m^{e*d}\ \%\ n = 5^{3*3}\ \%\ 15 = 5me∗d % n=53∗3 % 15=5
me∗d%n=63∗3%15=6m^{e*d}\ \%\ n = 6^{3*3}\ \%\ 15 = 6me∗d % n=63∗3 % 15=6
me∗d%n=73∗3%15=7m^{e*d}\ \%\ n = 7^{3*3}\ \%\ 15 = 7me∗d % n=73∗3 % 15=7
me∗d%n=83∗3%15=8m^{e*d}\ \%\ n = 8^{3*3}\ \%\ 15 = 8me∗d % n=83∗3 % 15=8
me∗d%n=93∗3%15=9m^{e*d}\ \%\ n = 9^{3*3}\ \%\ 15 = 9me∗d % n=93∗3 % 15=9
me∗d%n=103∗3%15=10m^{e*d}\ \%\ n = 10^{3*3}\ \%\ 15 = 10me∗d % n=103∗3 % 15=10
me∗d%n=113∗3%15=11m^{e*d}\ \%\ n = 11^{3*3}\ \%\ 15 = 11me∗d % n=113∗3 % 15=11
me∗d%n=123∗3%15=12m^{e*d}\ \%\ n = 12^{3*3}\ \%\ 15 = 12me∗d % n=123∗3 % 15=12
me∗d%n=133∗3%15=13m^{e*d}\ \%\ n = 13^{3*3}\ \%\ 15 = 13me∗d % n=133∗3 % 15=13
me∗d%n=143∗3%15=14m^{e*d}\ \%\ n = 14^{3*3}\ \%\ 15 = 14me∗d % n=143∗3 % 15=14

**结论：**m<n时，me∗d%n=mm^{e*d}\ \%\ n = mme∗d % n=m

3、 RSA加密原理：

3.1 迪菲赫尔曼密钥交换

原始需求：不直接用密钥进行传输，保证数据传输更加安全，交换的目的是为了获取到10这个值。
实际应用可能是为了获得对称加密的秘钥

3.2 RSA加密原理：

1、me%n=cm^{e}\%\ n = cme% n=c -->加密
2、cd%n=(me%n)d%n=me∗d%n=mc^d\% n = (m^e\%n)^d \%\ n =m^{e*d} \%\ n =mcd%n=(me%n)d% n=me∗d% n=m -->解密

加密公式：me%n=cm^{e} \%\ n = cme% n=c

解密公式：cd%n=mc^{d} \%\ n = mcd% n=m
公钥：n和e

私钥：n和d

明文: m

密文: c
** 特别说明 **

1、n会非常大，长度一般为1024个二进制位。（目前人类已经分解的最大整数，232个十进制位，768个二进制位）

2、由于需要求出φ(n)，所以根据欧拉函数是特点，最简单的方式n由两个质数相乘得到: 质数：p1、p2
Φ(n) = (p1 -1) * (p2 - 1)

3、最终由φ(n)得到e 和 d 。总共生成6个数字：p1、p2、n、φ(n)、e、d

3.3 关于RSA的安全

除了公钥用到了n和e其余的4个数字是不公开的。
目前破解RSA得到d的方式如下：
1、要想求出私钥d。由于e*d = φ(n)k + 1。要知道e和φ(n);
2、e是知道的，但是要得到 φ(n)，必须知道p1 和 p2。
3、由于 n=p1p2。只有将n因数分解才能算出。—>穷尽法

3.4 RSA加密的特点：

1、只能加密小数据，加密一些核心的小数据
2、加密效率不高
3、主要用于核心数据加密，如对称加密的key，签名等

4、RSA终端命令

Mac的终端可以直接使用OpenSSL进行RSA的命令运行。
由于Mac系统内置OpenSSL(开源加密库),所以我们可以直接在终端上使用命令来玩RSA. OpenSSL中RSA算法常用指令主要有三个：

4.1 生成RSA私钥(密钥长度为1024bit)

//生成RSA私钥(密钥长度为1024bit)
RSA hmily$ openssl genrsa -out private.pem 1024
Generating RSA private key, 1024 bit long modulus
....................++++++
.++++++
e is 65537 (0x10001)//输出私钥内容
RSA hmily$ cat private.pem
-----BEGIN RSA PRIVATE KEY-----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-----END RSA PRIVATE KEY-----

4.2 从私钥中提取公钥

//从私钥中提取公钥
RSA hmily$ openssl rsa -in private.pem -pubout -out public.pem
writing RSA key
//输出公钥内容
RSA hmily$ cat public.pem
-----BEGIN PUBLIC KEY-----
MIGfMA0GCSqGSIb3DQEBAQUAA4GNADCBiQKBgQDoGwSluU1rcrCuPjLuXhrslgLI
wXl+vOnEHhCOlq9/BrM4yrdcWyiEe59sjFP0ucKd55KjVxr0yMVBuY/4sYORB0DU
jjm7+ndVSiGUgbk7E0gUkAi47mcSfMWFtnpIBKCD4lMgqllZXITusfmADTRTjou9
fUudR4UuV5CA/ikN5wIDAQAB
-----END PUBLIC KEY-----

4.1、4.2生成以下两个文件

4.3 将私钥转换成为明文

//将私钥转换成为明文
RSA hmily$ openssl rsa -in private.pem -text -out private.txt
writing RSA key

4.4 通过公钥加密数据，私钥解密数据

//生成明文文件
RSA hmily$ vi message.txt
//查看文件内容
RSA hmily$ cat message.txt
密码:123456
//通过公钥进行加密
RSA hmily$ openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey public.pem -pubin -out enc.txt
//通过私钥进行解密
RSA hmily$ openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt

4.5 通过私钥加密数据，公钥解密数据

//通过私钥加密数据
RSA hmily$ openssl rsautl -sign -in message.txt -inkey private.pem  -out enc_p.txt
//公钥解密数据
RSA hmily$ openssl rsautl -verify -in enc_p.txt -inkey public.pem -pubin -out dec_p.txt

4.6 颁发证书请求证书（生成csr文件）

csr，证书签名请求(certificate signing request，也称为CSR或certificate request)是申请人向证书颁发机构发送的一条消息，用于申请数字身份证书。它通常包含需要被颁发证书的公钥、标识信息(例如域名)和完整性保护(例如数字签名)。

//通过私钥生成csr文件，用于请求证书
//同“钥匙串->证书助理->从机构颁发证书请求证书”的操作类似
RSA hmily$ openssl req -new -key private.pem -out rsacert.csr
You are about to be asked to enter information that will be incorporated
into your certificate request.
What you are about to enter is what is called a Distinguished Name or a DN.
There are quite a few fields but you can leave some blank
For some fields there will be a default value,
If you enter '.', the field will be left blank.
-----
Country Name (2 letter code) []:CN
State or Province Name (full name) []:FUJIAN
Locality Name (eg, city) []:XIAMEN
Organization Name (eg, company) []:BISINUOLAN
Organizational Unit Name (eg, section) []:BISINUOLAN
Common Name (eg, fully qualified host name) []:bisinuolan.com
Email Address []:xudusheng@bisinuolan.comPlease enter the following 'extra' attributes
to be sent with your certificate request
A challenge password []:

4.7 颁发签名证书（生成crt文件）

有CSR必定有KEY，是成对的，CSR最终变成为证书crt，和私钥key配对使用。
证书下发后，CSR就没有用了，只是在提交的时候需要。机构签名的证书收费，也可自签名。

//证书请求证书和私钥生成私有签名证书
RSA hmily$ openssl x509 -req -days 3650 -in rsacert.csr -signkey private.pem -out rsacer.crt
Signature ok
subject=/C=CN/ST=FUJIAN/L=XIAMEN/O=BISINUOLAN/OU
=BISINUOLAN/CN=bisinuolan.com/emailAddress=xudusheng@bisinuolan.com
Getting Private key

在密码学中，X.509是定义公钥证书格式的标准。X.509证书用于许多Internet协议，包括TLS/SSL，它是HTTPS(用于浏览web的安全协议)的基础。它们也用于离线应用程序，比如电子签名。一个X.509证书包含一个公钥和一个标识(主机名、组织或个人)，由证书颁发机构签名或自签名。当证书由受信任的证书颁发机构签名时，或者通过其他方法进行验证时，持有该证书的人可以依赖于它包含的公钥来与另一方建立安全通信，或者验证由相应私钥数字签名的文档。

4.8 导出p12文件

//利用私钥和签名证书，导出p12文件
RSA hmily$ openssl pkcs12 -export -out p.p12 -inkey private.pem -in rsacer.crt
Enter Export Password:
Verifying - Enter Export Password:

5、RSA代码演示

 # 生成证书$ openssl genrsa -out ca.key 1024# 创建证书请求$ openssl req -new -key ca.key -out rsacert.csr# 生成证书并签名$ openssl x509 -req -days 3650 -in rsacert.csr -signkey ca.key -out rsacert.crt# 转换格式$ openssl x509 -outform der -in rsacert.crt -out rsacert.der@endcode

5.1 生成公钥

 # 生成证书$ openssl genrsa -out ca.key 1024# 创建证书请求$ openssl req -new -key ca.key -out rsacert.csr# 生成证书并签名$ openssl x509 -req -days 3650 -in rsacert.csr -signkey ca.key -out rsacert.crt# 转换格式$ openssl x509 -outform der -in rsacert.crt -out rsacert.der

5.2 生成私钥

# crt文件转成p12文件openssl pkcs12 -export -out p.p12 -inkey ca.key -in rsacert.crt

5.3 RSA加密代码

- (void)viewDidLoad {[super viewDidLoad];//1.加载公钥[[RSACryptor sharedRSACryptor] loadPublicKey: [[NSBundle mainBundle] pathForResource:@"rsacert.der" ofType:nil]];//2.加载私钥[[RSACryptor sharedRSACryptor] loadPrivateKey:[[NSBundle mainBundle] pathForResource:@"p.p12" ofType:nil] password:@"123456"];
}- (void)touchesBegan:(NSSet<UITouch *> *)touches withEvent:(UIEvent *)event {//1.加密NSData * result = [[RSACryptor sharedRSACryptor] encryptData:[@"hello" dataUsingEncoding:NSUTF8StringEncoding]];NSLog(@"加密的结果是:%@",[result base64EncodedStringWithOptions:0]);//2.解密NSData * jiemi = [[RSACryptor sharedRSACryptor] decryptData:result];NSLog(@"解密的结果：%@",[[NSString alloc] initWithData:jiemi encoding:NSUTF8StringEncoding]);
}