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我们知道，在圆中，可以画出两条互相垂直的直径。这个用尺规作图法很容易实现。那么，在椭圆中，怎么作共轭直径(或共轭半径)呢？

我们首先来讲解什么是共轭直径(或共轭半径)。在椭圆中，过中心作一条直线，直线与椭圆必定交于两点，那么以这两点为端点的线段就叫做椭圆的一条直径(即一条过椭圆中心的弦)。然后，我们讨论什么是与一条直径共轭的直径。我们先随便画椭圆的一条直径，作与这条直径平行的弦。那么，弦的中点的轨迹就是这条直线的共轭直径(平行弦移动到与圆只有一个交点时为平行于直径的切线，有两条。这两条切线把椭圆夹在中间，两条切线的切点为共轭直径的两个端点)。

为何平行弦的中点的轨迹是直线段而不是曲线段呢？其实，一个圆及其两条互相垂直的直径在平行投影下的像，就是一个椭圆及两条共轭直径。各取两条共轭直径的一半，就得到一对共轭半径。

从上面的叙述中，可以轻易发现作共轭直径的尺规作图法。下面则是用软件制作的共轭直径生成的动画过程。

了解椭圆共轭直径(或共轭半径)后，我们便可以讨论下面的结论：椭圆的任意两条共轭半径的平方和为常数，且等于椭圆的半长轴a与半短轴b的平方和。

如上图所示。图中在水平面内有一椭圆(红色)，点O为椭圆中心，AB为长轴(长度=2a)。OP和OQ为其两条共轭半径。图中弧AP’Q’B为半圆，它在平面上的投影正好就是半个椭圆APQB，其中点P是点P'的投影，点Q是点Q’的投影(上图中的蓝色阴影为夹于半圆AP’Q’B与半椭圆APQB之间的椭圆柱面)。OP’和OQ’分别为圆的两条半径，它们在椭圆上的投影正好就是椭圆的共轭半径OP和OQ。分别过点P和Q作AB的垂线，垂足分别为C和D。所以，PC垂直于AB，QD垂直于AB。由三垂线定理知，P’C垂直于AB，Q’D垂直于AB。从而有∠PCP’=∠QDQ’，它们都是圆所在平面与椭圆所在平面的夹角的平面角。下面设这个夹角为θ。因为OP和OQ共轭，所以OP'与OQ'是圆的互相垂直的两条半径，即∠P’OQ’是直角。因此，在圆中，三角形P'CO与Q'DO全等，所以有P'C=OD，Q'D=CO。

有了上面这样铺垫，我们就可以来计算两个共轭半径的平方和了：

再继续往下推导时，我们遇到了一个困难需要先解决。如下图所示，我们作出椭圆的半短轴OE(=b)。OE是圆的半径OE'(=a)的投影，如下图所蓝色直角三角形所示。于是有下式成立：

于是前面中断了的推导可以继续下去了。

a和b都为常数，而上面所取的两条共轭半径是任意的，所以有结果：椭圆的两条共轭半径的平方和为常数，且等于半长轴与半短轴的平方和。其实，a和b是一对特殊的共轭半径，所以这个常数等于a的平方加上b的平方也是自然的和必然的。

另外，由两条共轭半径为相邻两边构成的平行四边形，其面积为常数，且等于两个半轴的乘积：ab。这个不难理解，因为这个平行四边形在圆中对应的图形为边长为a的正方形，而这个正方形的面积等于a的平方，所以，对应的椭圆中的这个平行四边形的面积就是a的平方乘以前面所说到的二面角的余弦。而这个余弦cosθ=b/a。所以，平行四边形的面积等于a的平方乘以b/a，等于ab。