经典电动力学的一个重要推论：只要电荷有加速度，就会产生辐射。下面进行相关的推导。

李纳-维谢尔势

设电荷的运动

r′=re(t′)

\mathbf r'=\mathbf r_e(t')
电磁标势

φ=14πε0∭ρ(r′,t′)|r−r′|dτ′

\varphi=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\iiint\dfrac{\rho(\mathbf r',t')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\mathrm d\tau'
其中 t′=t−|r−r′|c,t'=t-\dfrac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c},即 c(t−t′)=|r−r′|c(t-t')=|\mathbf r-\mathbf r'|

把运动点电荷看作是分布密度为δ\delta函数的源

ρ(r′,t′)=eδ(r′−re(t′))

\rho(\mathbf r',t')=e\delta(\mathbf r'-\mathbf r_e(t'))
代入上式，得到

φ=14πε0∭eδ(r′−re(t−|r−r′|c)))|r−r′|dτ′

\varphi=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\iiint\dfrac{e\delta(\mathbf r'-\mathbf r_e(t-\dfrac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c})))}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\mathrm d\tau'
作一个代换

r′′=r′−re(t′)

\mathbf r''=\mathbf r'-\mathbf r_e(t')
得

Jdτ′=dτ′′J=∥∥∥∂x′′i∂x′i∥∥∥=∥∇′r′′∥

J\mathrm d\tau'=\mathrm d\tau''\\ J=\left\|\dfrac{\partial x''_i}{\partial x'_i}\right\|=\|\nabla'\mathbf r''\|

∇′r′′=∇′r′−∇′re(t′)=I⃗ −v′e∇′t′（\?顺序)=I⃗ −v′e∇′(t−|r−r′|c)

\nabla'\mathbf r''=\nabla'\mathbf r'-\nabla'\mathbf r_e(t')\\=\vec{\mathbf I}-\mathbf v'_e\nabla't'（\?顺序)\\=\vec{\mathbf I}-\mathbf v'_e\nabla'(t-\dfrac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c})
∇′\nabla'是 tt不变条件下的偏微分，所以∇′t=0\nabla' t=0，再设 R′=r−r′\mathbf R'=\mathbf r-\mathbf r'，得

∇′r′′=I⃗ −v′e∇′(t−|r−r′|c)=I⃗ −v′ec∇′R′=I⃗ −v′ecR′R′

\begin{array} a\nabla'\mathbf r''=\vec{\mathbf I}-\mathbf v'_e\nabla'(t-\dfrac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c})\\ =\vec{\mathbf I}-\dfrac{\mathbf v'_e}{c}\nabla'R'\\ =\vec{\mathbf I}-\dfrac{\mathbf v'_e}{c}\dfrac{\mathbf R'}{R'} \end{array}
所以

J=∥∇′r′′∥=1−v′⋅R′R′c

J=\|\nabla'\mathbf r''\|=1-\dfrac{\mathbf v'\cdot\mathbf R'}{R'c}
所以推迟势用 r′′\mathbf r''作为变量得到

φ=14πε0∭eδ(r′′)R′(1−v′⋅R′cR′)dτ′′=14πε0eR′(1−v′⋅R′cR′)

\varphi=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\iiint\dfrac{e\delta(\mathbf r'')}{R'\left(1-\dfrac{\mathbf v'\cdot\mathbf R'}{cR'}\right)}\mathrm d\tau''\\=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e}{R'\left(1-\dfrac{\mathbf v'\cdot\mathbf R'}{cR'}\right)}
这就是点电荷在 t′t'时刻 r′\mathbf r'处产生的标势，只取决于 t′t'时刻的量。

对矢势可以作同样处理，得到

A=μ04πev′R′(1−v′⋅R′cR′)=1c2φv′

\mathbf A=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{e\mathbf v'}{R'\left(1-\dfrac{\mathbf v'\cdot\mathbf R'}{cR'}\right)}=\dfrac1{c^2}\varphi\mathbf v'

这一组电磁势称为李纳-维谢尔势(Lienard-Wiechert Potential )，特点是

所有和源有关的项只和t′t'时刻的物理量有关，这正是推迟效应的体现。
分子多了一项(1−v′⋅R′cR′)\left(1-\dfrac{\mathbf v'\cdot\mathbf R'}{cR'}\right)，等效于源的电量变大v′⋅R>0\mathbf v'\cdot\mathbf R>0或变小v′⋅R<0\mathbf v'\cdot\mathbf R，这是多普勒效应的体现。

运动电荷的标势和矢势

φ=14πε0eR′(1−v′⋅R′cR′)A=1c2φv′

\varphi=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e}{R'\left(1-\dfrac{\mathbf v'\cdot\mathbf R'}{cR'}\right)}\\ \mathbf A=\dfrac1{c^2}\varphi\mathbf v'
设

s′=R′−R′⋅v′cR′=r−r′

s'=R'-\dfrac{\mathbf R'\cdot \mathbf v'}{c}\\\mathbf R'=\mathbf r-\mathbf r'
将方程改写为

φ=14πε0es′A=1c2φv′

\varphi=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e}{s'}\\ \mathbf A=\dfrac1{c^2}\varphi\mathbf v'
电磁场方程

E=−∇φ−∂A∂tB=∇×A

\mathbf E=-\nabla\varphi-\dfrac{\partial \mathbf A}{\partial t}\\ \mathbf B=\nabla\times \mathbf A
在代入计算之前，先解决微分变量的问题。注意到 E\mathbf E和 B\mathbf B 的表达式中，所有关于源的微分计算都是对 tt时刻的，而φ\varphi和 A\mathbf A的表达式中所有关于源的物理量都是 t′t'时刻的，所以需要做一些处理。

t′,r′,v′t',\mathbf r',\mathbf v'对r,t\mathbf r,t的依赖关系：

t′=t′(r,t)r′=re(t′(r,t))v′=dre(t′)dt′=v′(t′(r,t))

t'=t'(\mathbf r,t)\\ \mathbf r'=\mathbf r_e(t'(\mathbf r,t))\\ \mathbf v'=\dfrac{\mathrm d\mathbf r_e(t')}{\mathrm dt'}=v'(t'(\mathbf r,t))
其中 t′=t−|r−r′|ct'=t-\dfrac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}, re(t′)\mathbf r_e(t')是已知函数（运动方程），但是 t′=t−|r−r′|ct'=t-\dfrac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}不是显式，而是一个隐函数。
对形如 f(r,t′(r,t))f(\mathbf r,t'(\mathbf r,t))的复合函数，对 tt求偏微分，有

∂∂t=∂t′∂t∂∂t′

\dfrac{\partial }{\partial t}=\dfrac{\partial t'}{\partial t}\dfrac{\partial }{\partial t'}
对 r\mathbf r求偏微分，得

∇=∇′+(∇t′)∂∂t′(\?)

\nabla = \nabla'+(\nabla t')\dfrac{\partial }{\partial t'}(\?)
其中 ∇′\nabla'是保持 t′t'不变对 r\mathbf r的偏微分。

在方程t′=t−|r−r′|ct'=t-\dfrac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}两边对tt求偏微分，得

∂t′∂t=1−1c∂R′∂t=1−1c∂t′∂t∂R′∂t′

\dfrac{\partial t'}{\partial t}=1-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial R'}{\partial t}=1-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial t'}{\partial t}\dfrac{\partial R' }{\partial t'}
其中∂R′∂t′\dfrac{\partial R' }{\partial t'}是保持r\mathbf r不变对t′t'求偏导，如图所示

∂R′∂t′=−R′⋅v′R′

\dfrac{\partial R' }{\partial t'}=-\dfrac{\mathbf R'\cdot \mathbf v'}{R'}
所以根据

∂t′∂t=1−1c∂t′∂t∂R′∂t′

\dfrac{\partial t'}{\partial t}=1-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial t'}{\partial t}\dfrac{\partial R' }{\partial t'}
得

∂t′∂t=11−R′⋅v′cR′=R′s′

\dfrac{\partial t'}{\partial t}=\dfrac{1}{1-\dfrac{\mathbf R'\cdot \mathbf v'}{cR'}}=\dfrac{R'}{s'}

∂R′∂t=∂t′∂t∂R′∂t′=−R′⋅v′s′

\dfrac{\partial R'}{\partial t}=\dfrac{\partial t'}{\partial t}\dfrac{\partial R'}{\partial t'}=-\dfrac{\mathbf R'\cdot \mathbf v'}{s'}

在方程t′=t−|r−r′|ct'=t-\dfrac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}两边保持tt不变，对r\mathbf r求偏微分，得

∇t′=∇t−∇|r−r′|c=0(保持t不变)−∇R′c=−1c(∇′R′+(∇t′)∂R′∂t′)

\begin{array} a\nabla t' = \nabla t -\nabla \dfrac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}\\ =0(保持t不变) - \dfrac{\nabla R'}{c}\\ =- \dfrac{1}{c}\left( \nabla'R'+(\nabla t')\dfrac{\partial R'}{\partial t'}\right) \end{array}
其中 ∇′R′=R′R′,∂R′∂t′=−R′⋅v′R′\nabla'R'=\dfrac{\mathbf R'}{R'},\dfrac{\partial R' }{\partial t'}=-\dfrac{\mathbf R'\cdot \mathbf v'}{R'}，代入，得

∇t′=−R′cs′∇R′=R′s′

\nabla t'=-\dfrac{\mathbf R'}{cs'}\\\nabla R'=\dfrac{R'}{s'}

至此，已经得到了∂t′∂t,∂R′∂t,∇t′,∇R′\dfrac{\partial t' }{\partial t},\dfrac{\partial R' }{\partial t},\nabla t',\nabla R'几个量.

运动电荷产生的电磁场

将Lienard-Wiechert势

φ=14πε0es′A=1c2φv′

\varphi=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e}{s'}\\ \mathbf A=\dfrac1{c^2}\varphi\mathbf v'
代入电场方程

E=−∇φ−∂A∂t

\mathbf E=-\nabla\varphi-\dfrac{\partial \mathbf A}{\partial t}
得

E=−e4πε0(∇1s′+1c2∂∂tv′s′)=−e4πε01s′2(−∇s′+1c2(∂v′∂ts′−∂s′∂tv′))

\mathbf E=-\dfrac e{4\pi\varepsilon_0}\left(\nabla\dfrac{1}{s'}+\dfrac1{c^2}\dfrac{\partial }{\partial t}\dfrac{\mathbf v'}{s'}\right)\\ =-\dfrac e{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{s'^2}\left(-\nabla s'+\dfrac1{c^2}(\dfrac{\partial \mathbf v'}{\partial t}s'-\dfrac{\partial s'}{\partial t}\mathbf v')\right)
其中 ∂v′∂t=∂v′∂t′∂t′∂t=∂v′∂t′R′s′=a′R′s′\dfrac{\partial \mathbf v'}{\partial t}=\dfrac{\partial \mathbf v'}{\partial t'}\dfrac{\partial \mathbf t'}{\partial t}=\dfrac{\partial \mathbf v'}{\partial t'}\dfrac{R'}{s'}=\dfrac{\mathbf a'R'}{s'}
所以

E=−e4πε01s′2(−∇s′+a′R′c2−1c2∂s′∂tv′)

\mathbf E=-\dfrac e{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{s'^2}\left(-\nabla s'+\dfrac{\mathbf a'R'}{c^2}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial s'}{\partial t}\mathbf v'\right)

∇s′=∇′s′+(∇t′)∂s′∂t′=∇′s′+(∇t′)∂s′∂t′

\begin{array} a\nabla s'=\nabla's'+(\nabla t')\dfrac{\partial s'}{\partial t'}\\ =\nabla's'+(\nabla t')\dfrac{\partial s'}{\partial t'} \end{array}
利用前面的结论

∇′s′=R′R′−v′c(\?∇′R′=δij?)∂s′∂t′=(R′R′−v′c)⋅v′−R′⋅a′c

\nabla's'=\dfrac{\mathbf R'}{R'}-\dfrac{\mathbf v'}{c}(\? \nabla'R'=\delta_{ij}?)\\\dfrac{\partial s'}{\partial t'}=\left(\dfrac{\mathbf R'}{R'}-\dfrac{\mathbf v'}{c}\right)\cdot \mathbf v'-\dfrac{\mathbf R'\cdot \bf a'}{c}
所以

∇s′=（）∂s∂t′=（）

\nabla s'=（）\\\dfrac{\partial s}{\partial t'}=（）

E=e4πε01s′3{(1−v′2c2)(R′−R′cv′)+1c2R′×[(R′−R′cv′)×a′]}

\mathbf E=\dfrac e{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{s'^3}\left\{\left(1-\dfrac{v'^2}{c^2}\right)\left(\mathbf R'-\dfrac{R'}{c}\mathbf v'\right)+\dfrac1{c^2}\mathbf R'\times\left[\left(\mathbf R'-\dfrac{R'}{c}\mathbf v'\right)\times a'\right]\right\}
得，

B=1cR′R′×E

\mathbf B=\dfrac1c\dfrac{\mathbf R'}{R'}\times \mathbf E

这就是运动点电荷的电磁场方程，略复杂。

本文主要参考俞允强《电动力学简明教程》

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