六轴机器人轨迹规划之五段位置s曲线插补

1.原理
五段s曲线相较于三段s曲线而言加速度也是连续变化的，能适用于平稳性要求更高的场合。分为加加速、加减速、匀速、减加速、减减速这五段。
设除匀速段以为，其余四段的时间相等都为TaTaT_a，总时间为TTT，匀速段速度为vs" role="presentation" style="position: relative;">vsvsv_s，四个变速段斜率大小都为AAA，整段轨迹的总位移L" role="presentation" style="position: relative;">LLL、加加速段位移L1L1L_1、加减速段位移L2L2L_2

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Ta=vsA−−√L1=16AT3aL2=56AT3aT=4Ta+L−2L1−2L2vs{Ta=vsAL1=16ATa3L2=56ATa3T=4Ta+L−2L1−2L2vs

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} T_a=\sqrt{\frac{v_s}{A}}\\ L_1=\frac{1}{6}AT_a^3\\ L_2=\frac{5}{6}AT_a^3\\ T=4T_a+\frac{L-2L_1-2L_2}{v_s} \end{array}\right. \end{eqnarray*}
则加速度分段函数为

a=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪At,(0≤t≤Ta)−A(t−2Ta),(Ta≤t≤2Ta)0,(2Ta≤t≤T−2Ta)−A[t−(T−2Ta)],(T−2Ta≤t≤T−Ta)A(t−T),(T−Ta≤t≤T)a={At,(0≤t≤Ta)−A(t−2Ta),(Ta≤t≤2Ta)0,(2Ta≤t≤T−2Ta)−A[t−(T−2Ta)],(T−2Ta≤t≤T−Ta)A(t−T),(T−Ta≤t≤T)

\begin{eqnarray*}a= \left\{ \begin{array}{l} At,(0\leq{t}\leq{T_a})\\ -A(t-2T_a),({T_a}\leq{t}\leq2{T_a})\\ 0,({2T_a}\leq{t}\leq{T-2{T_a}})\\ -A[t-(T-2T_a)],(T-2{T_a}\leq{t}\leq{T-{T_a}})\\ A(t-T),(T-{T_a}\leq{t}\leq{T}) \end{array}\right. \end{eqnarray*}
对加速度积分可得

v=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12At2,(0≤t≤Ta)−12A(t−2Ta)2+AT2a,(Ta≤t≤2Ta)vs,(2Ta≤t≤T−2Ta)−12A（t−T+2Ta)2+AT2a,(T−2Ta≤t≤T−Ta)12A(t−T)2,(T−Ta≤t≤T)v={12At2,(0≤t≤Ta)−12A(t−2Ta)2+ATa2,(Ta≤t≤2Ta)vs,(2Ta≤t≤T−2Ta)−12A（t−T+2Ta)2+ATa2,(T−2Ta≤t≤T−Ta)12A(t−T)2,(T−Ta≤t≤T)

\begin{eqnarray*} v=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2}At^2,(0\leq{t}\leq{T_a})\\ -\frac{1}{2}A(t-2T_a)^2+AT_a^2,({T_a}\leq{t}\leq2{T_a})\\ v_s,({2T_a}\leq{t}\leq{T-2{T_a}})\\ -\frac{1}{2}A（t-T+2T_a)^2+AT_a^2,(T-2{T_a}\leq{t}\leq{T-{T_a}})\\ \frac{1}{2}A(t-T)^2,(T-{T_a}\leq{t}\leq{T}) \end{array}\right. \end{eqnarray*}
对速度积分可得到位移s的分段函数

s=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪16At3,(0≤t≤Ta)−16A(t−2Ta)3+AT2at−AT3a,(Ta≤t≤2Ta)AT2at−AT3a,(2Ta≤t≤T−2Ta)−16A(t−T+2Ta)3+AT2at−AT2a,(T−2Ta≤t≤T−Ta)16A(t−T)3−2AT3a+AT2bT,(T−Ta≤t≤T)s={16At3,(0≤t≤Ta)−16A(t−2Ta)3+ATa2t−ATa3,(Ta≤t≤2Ta)ATa2t−ATa3,(2Ta≤t≤T−2Ta)−16A(t−T+2Ta)3+ATa2t−ATa2,(T−2Ta≤t≤T−Ta)16A(t−T)3−2ATa3+ATb2T,(T−Ta≤t≤T)

\begin{eqnarray*}s= \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{6}At^3,(0\leq{t}\leq{T_a})\\ -\frac{1}{6}A(t-2T_a)^3+AT_a^2t-AT_a^3,({T_a}\leq{t}\leq2{T_a})\\ AT_a^2t-AT_a^3,({2T_a}\leq{t}\leq{T-2{T_a}})\\ -\frac{1}{6}A(t-T+2T_a)^3+AT_a^2t-AT_a^2,(T-2{T_a}\leq{t}\leq{T-{T_a}})\\ \frac{1}{6}A(t-T)^3-2AT_a^3+AT_b^2T,(T-{T_a}\leq{t}\leq{T}) \end{array}\right. \end{eqnarray*}
3.matlab代码实现
指定位置、速度、斜率

clc;
clear;
%初始条件
x_arry=[0,10,20,30];
v_arry=[2,2,2];
A_arry=[3,3,3];
weiyi=[x_arry(1)];sudu=[0];shijian=[0];timeall=0;jiasudu=[0]
for i=1:1:length(x_arry)-1;
%清空a=[];v=[];s=[];
%计算加减速段的时间和位移L=x_arry(i+1)-x_arry(i);A=A_arry(i);vs=v_arry(i);Ta=sqrt(vs/A);L1=A*(Ta^3)/6;L2=A*(Ta^3)*(5/6);
%计算整段轨迹的总位移T=4*Ta+(L-2*L1-2*L2)/vs;for t=0:0.001:Tif t<=Ta;%加加速度阶段ad=A*t;vd=0.5*A*t^2;sd=(1/6)*A*t^3;a=[a,ad];v=[v,vd];s=[s,sd];elseif t>Ta && t<=2*Ta;%加减速阶段ad=-A*(t-2*Ta);vd=-0.5*A*(t-2*Ta)^2+A*Ta^2;sd=-(1/6)*A*(t-2*Ta)^3+A*Ta^2*t-A*Ta^3;a=[a,ad];v=[v,vd];s=[s,sd];elseif t>2*Ta && t<=T-2*Ta;%匀速阶段ad=0;vd=vs;sd=A*Ta^2*t-A*Ta^3;  a=[a,ad];v=[v,vd];s=[s,sd];elseif t>T-2*Ta && t<=T-Ta;%减加度阶段ad=-A*(t-(T-2*Ta));vd=-0.5*A*(t-T+2*Ta)^2+A*Ta^2;sd=-(1/6)*A*(t-T+2*Ta)^3+A*Ta^2*t-A*Ta^3;a=[a,ad];v=[v,vd];s=[s,sd];elseif t>T-Ta && t<=T;%减减阶段ad=A*(t-T);vd=0.5*A*(t-T)^2;sd=(1/6)*A*(t-T)^3-2*A*Ta^3+A*Ta^2*T;a=[a,ad];v=[v,vd];s=[s,sd];endend
%时间time=[timeall:0.001:timeall+T];timeall=timeall+T;
%连接每一段轨迹weiyi=[weiyi,s(2:end)+x_arry(i)];sudu=[sudu,v(2:end)];jiasudu=[jiasudu,a(2:end)];shijian=[shijian,time(2:end)];
end
subplot(3,1,1),plot(shijian,weiyi,'r');xlabel('t'),ylabel('position');grid on;
subplot(3,1,2),plot(shijian,sudu,'b');xlabel('t'),ylabel('velocity');grid on;
subplot(3,1,3),plot(shijian,jiasudu,'g');xlabel('t'),ylabel('accelerate');grid on;

结果如下

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