多重积分的理解以及转动惯量的求解

一、积分

学到这里应该对与积分的概念很熟悉这里就不过多赘述。

二、二重积分

二重积分的一般形式为 ∬Sf(x,y)dxdy\iint_S f(x,y)\,{\rm d}x\,{\rm d}y∬Sf(x,y)dxdy

一般理解为一个物体的体积，这里的 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 表示高度关于变量xxx,yyy的函数。求解多重积分的关键在于对于变量的范围的把控。

掌握好下面一道例题，便可掌握二重积分的真谛——

求下列图形的体积 (fig.1)(fig.1)(fig.1)

对于二重积分的主要步骤我分为三步

寻找函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在这里就是 zzz 显然这里的 z=1−x−yz=1-x-yz=1−x−y
找到范围中包含字母的变量在本题中没有范围包含字母，那么一般寻找 yyy 的范围 [0,1][0,1][0,1]
寻找另一个变量的范围 x∈[0,1]x\in[0,1]x∈[0,1]

所以 V=∫01∫01(1−x−y)dxdyV=\int_0^1\int_0^1{(1-x-y)}\,{\rm d}x\,{\rm d}yV=∫01∫01(1−x−y)dxdy

二重积分的关键就在于几何体的底面积的积分，底面积的积分要注意的是 x,yx,yx,y 的范围有可能包含字母
此处的 x∈[y2,1]x\in[y^2,1]x∈[y2,1] 而 y∈[−1,1]y\in[-1,1]y∈[−1,1]。(fig.2)(fig.2)(fig.2)

三、三重积分

三重积分的现实意义是质量，表达形式为∭Vf(x,y,z)dxdydz\iiint_V f(x,y,z)\,{\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z∭Vf(x,y,z)dxdydz

例如在第一题中的体积则可以表示为∫01−x−y∫01∫01dxdydz\int_0^{1-x-y}\,\int_0^1\,\int_0^1 \,{\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z∫01−x−y∫01∫01dxdydz
这里注意当三重积分的 f(x,y,z)=1f(x,y,z)=1f(x,y,z)=1 则表示求体积，同样的二重积分 f(x,y)=1f(x,y)=1f(x,y)=1 表示面积。

转动惯量的求解

多重积分在物理中求转动惯量

转动惯量的定义为 I=∫R2dM=ρ∫R2dVI=\int R^2\,{\rm d}M=\rho\int R^2\,{\rm d}VI=∫R2dM=ρ∫R2dV
由于物质的密度一般是均匀的所以关键在于求解体积。但是当掌握好基本图形的求解并在此条件下积分就可以使做题更加快捷，下面我选择一个较难处理的基本图形。

我们可以将旋转轴当作zzz轴，圆柱轴线为yyy轴，垂直于 y,zy,zy,z 的为 xxx 轴建立直角坐标系。

主要步骤依然是

找出被积函数 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 在这里是 x2+y2x^2+y^2x2+y2
找出高度zzz的范围 z∈[−R2−x2,R2−x2]z\in\left[-\sqrt{R^2-x^2},\sqrt {R^2-x^2}\right]z∈[−R2−x2,R2−x2]
找出x,yx,yx,y的范围为[−R,R],[−L2,L2][-R,R],[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}][−R,R],[−2L,2L]

所以可以得出I=∫−R2−x2R2−x2∫−L2−L2∫−RR(x2+y2)dxdydz=14MR2+112ML2\begin{aligned}I&=\int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}\int_{-\frac{L}{2}}^{-\frac{L}{2}}\int_{-R}^{R}{(x^2+y^2)}\,{\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z \\ &=\frac {1}{4}{MR^2}+\frac {1}{12}{ML^2} \end{aligned}I=∫−R2−x2R2−x2∫−2L−2L∫−RR(x2+y2)dxdydz=41MR2+121ML2