halting problem 详解

在讲解halting problem 问题之前,我们先来看一张图和一个小故事

图片:

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故事:
理发师悖论:
在一个村子里只有有一个理发师,他说他只给不给自己理发的人理发
那么他是否给自己理发?

请思考一下这个图和这个小故事

虽然这两个家伙个halting problem 不完全一致,但是有类似的地方

halting problem 是什么?
对任何一个程序给定一个输入,我们能否确定它是否会停止
可以转化成下面的这个概念

有没有一个特殊的程序,可以判断其他程序在接受一个输入并运行的时候是否能够停止, 即类似于是否有一个可以判断其他程序能够处理什么问题的程序

看上去这个问题的答案应该是 true,

但是我们来看一看详细证明:

假设有一个函数 h(program,input) 它接受两个参数,一个是需要检测的程序,一个是对应的输入数据,如果这个输入导致这个程序能够停止,那么这个函数返回true, 否则返回 false
然后我们现在有这样一个程序:

program(i){if(h(program,i){whlie(true);}else{return;}
}

解释:

首先我们通过函数h() 判断对于输入i, 能否使这个程序停止
如果能够使这个程序停止,那么我们让这个程序无限循环
如果不能够使这个程序停止,那么我们让这个程序停止

也就是说我们通过h()函数判断这个程序能够正常停止它却不会停止,但是判断它不会正常停止的时候它却正常停止.
就等于说这个h() 函数的判断是错误的, 不存在这样的一个函数.
与我们的假设相矛盾,证明假设错误,即没有这样一个函数

也就是说 对任何一个程序给定一个输入,我们不能确定它是否会停止

这里有点像一个杠精的感觉,但是这确实是一个无懈可击的反例,因为对于一个反证法我们只要能找出矛盾,证明它,当一回杠精又有何不可呢?

PS: 其实这个问题我认为也证明了我们不能通过计算机完成所有的事情

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