二项式定理与杨辉三角
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 6ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + a6
… …
(a + b)n = ?
在二项式 (a + b)n 中，每一单项式的次数和都等于n，把每一项的系数列出来，可以得到一个杨辉三角：三角形左边和右边的数字全都是1，而内部的每一个数字都是连接到它的上端的两个数字之和。内部的数字究竟还有其他什么特征？
n次幂对应的项数共有 n + 1 项，而且每一行的数字都是对称的。从外往内看，每一行顺数和倒数的第2个数字都是n，nC1 = nCn–1 = n
顺数和倒数的第3个数字都 nC2 = nCn–2
… …
所以杨辉三角又可以表示为以下形式
左边上的“1”实际是nC0，左边上的“1”实际是nCn，每一行的第k项的系数都是nCn–k+1。从左向右排列为：
用组合解释如下：(a + b)n就是n个 (a + b) 相乘，每个(a + b) 相乘时有两种选择，选a或b，而且每个(a + b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。
把n个 (a + b) 中的所有的a相乘，得到an ；
把n个 (a + b) 中的 (n – 1) 个a与剩下的最后一个 (a + b) 中的b相乘，得到an–1b ；
把n个 (a + b) 中的 (n – 2) 个a与剩下的最后两个(a + b) 中的b相乘，得到an–2b2 ；
… …
把n个 (a + b) 中的 (n – k) 个a与剩下的k个(a + b) 中的b相乘，得到an–kbk ；
… …
把n个 (a + b) 中的所有的b相乘，得到bn ；
an–kbk 出现的次数 = n个(a + b) 中取k个b的组合数nCk
把(a + b)n展开得到
这就是二项式定理（Binomial Theorem）。
转载于:https://www.cnblogs.com/Roni-i/p/8538998.html
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