约瑟夫问题(c语言)

N 个人围成一圈，从第一个人开始报数，数到 M 的人出圈；再由下一个人开始报数，数到 M 的人出圈。

约瑟夫问题的两种形式：

1.求出最后剩下的人的原始序号：

#include<stdio.h>
int main()
{int m,n,k,b,f;scanf("%d%d",&m,&n);b = n-1;//n-1使得序号从0开始 for(k=1;k<=m;k++){f = b%k;b = f+n;}printf("%d ",f+1);//f+1使得序号从1开始 return 0;
}

2.依次打印每次出列的人的原始序号：

#include<stdio.h>
int main()
{int m,n,i,k,b,f;scanf("%d%d",&m,&n);for(i=0;i<m;i++){b = n-1;//n-1使得序号从0开始 for(k=m-i;k<=m;k++){f = b%k;b = f+n;}printf("%d ",f+1);//f+1使得序号从1开始 }
}

一开始接触这类题目，我们较直接的思路是用链表或者数组来模拟整个游戏过程，但这有一个缺点是，程序繁琐。为此我们在数学上推敲一下，寻找一些规律。

因为（编号0~(n-1））报数报到（M-1）的人退出，剩下的人继续从0开始报数，意思就是把原来的序号减去M。比如N=7，M=4 的时候：

第一轮报数第4个人（编号为3）退出，剩下的人的序号都减4变成从0开始：

旧序号：0 1 2 3 4 5 6 （7人）

新序号：3 4 5 x 0 1 2 （6人）

可以发现，旧序号=(新序号+4)%7

注：（因为新=旧-4，所以旧=新+4，又因为他们排成一个圆(0-6-0)，且最大的序号只能是6，为防止+4之后序号可能>6，所以要对7取余，比如当+4=7、8、9，取余之后就是0、1、2，这里取余的方法感觉挺巧妙的）

第2轮报数第4个人（编号还是3）退出后，序号变化如下：

旧序号：3 4 5 x 0 1 2 （6人）

新序号：x 0 1 x 2 3 4 （5人）

可以发现，旧序号=(新序号+4)%6

第3轮报数第4个人（编号还是3）退出后，序号变化如下：

旧序号：x 0 1 x 2 3 4 （5人）

新序号：x 1 2 x 3 x 0 （4人）

可以发现，旧序号=(新序号+4)%5

……

第6轮报数第4个人（编号为1）退出后，序号变化如下：

旧序号：x 0 1 x x x x （2人）

新序号：x 0 x x x x x （1人）

可以发现，旧序号=(新序号+4)%2

所以最后一个人的序号一定是0，因为只剩他一个人了，他在前1轮的序号是(0+4)%2=0，在前2轮的序号是（(0+4)%2+4)%3=1……所以递推回来，他最原始的序号就是((((((0+4)%2+4)%3+4)%4+4)%5+4)%6+4)%7=1，所以第一题用一个for循环就可以求解了。

第2题跟第1题思路差不多。首先我们知道这个游戏是每一轮报数出列一人，倒数第二个出列的人是在倒数第二轮出列，倒数第三个出列的人是在倒数第三轮出列……只要我们知道这些人在他们所出列的轮数时的序号，我们就可以按照第1题的方法逆推回去，得到他最原始的序号。(假设N=7，M=4)因为每次都是报数为3的人出列，所以他们出列时的序号一般都是3，有个问题是，当人数减到<M时，序号就不是3了，我们仍然可以通过取余解决，即3%N'(N'为当剩余人数)，比如倒数第2个出列的人的原始序号可以由以下表达式求得：

(((((3%2+4)%3+4)%4+4)%5+4)%6+4)%7=2

倒数第3个出列的人的原始序号可以由以下表达式求得：

((((3%3+4)%4+4)%5+4)%6+4)%7=6

……

所以第二题用两个for循环就可以求解，并且没有用到数组。如果要求编号从1开始，只需要把最终结果加上1即可。可以用下面的输入验证一下。

Sample

Input

8 5

Output

5 2 8 7 1 4 6 3

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