分位数Granger因果检验实现原理

各变量含义

待估计方程：
QYt[τ∣Zt−1]=a(τ)+Yt−1,p′α(τ)+Xt−1,q′β(τ)=Zt−1′θ(τ)Q_{Y_{t}}\left[\tau | Z_{t-1}\right]=a(\tau)+Y_{t-1, p}^{\prime} \alpha(\tau)+X_{t-1, q}^{\prime} \beta(\tau)=Z_{t-1}^{\prime} \theta(\tau) QYt[τ∣Zt−1]=a(τ)+Yt−1,p′α(τ)+Xt−1,q′β(τ)=Zt−1′θ(τ)
其中，a(τ)a(\tau)a(τ)为截距项，α(τ)\alpha(\tau)α(τ)和β(τ)\beta(\tau)β(τ)为回归系数列向量；θ(τ)\theta(\tau)θ(τ)为回归系数向量，
a(τ)=[alpha(τ),α(τ)′,β(τ)′]′a(\tau)=\left[alpha(\tau), \alpha(\tau)^{\prime}, \beta(\tau)^{\prime}\right]^{\prime} a(τ)=[alpha(τ),α(τ)′,β(τ)′]′

Yt−1,p′=(Yt−1,⋯,Yt−p)\quad Y_{t-1, p}^{\prime}=\left(Y_{t-1}, \cdots, Y_{t-p}\right) Yt−1,p′=(Yt−1,⋯,Yt−p)

Xt−1,q′=(Xt−1,⋯,Xt−q)\quad X_{t-1, q}^{\prime}=\left(X_{t-1}, \cdots, X_{t-q}\right) Xt−1,q′=(Xt−1,⋯,Xt−q)

Zt−1′=(Yt−1,p′,Xt−1,q′)Z_{t-1}^{\prime}=\left(Y_{t-1, p}^{\prime}, X_{t-1, q}^{\prime}\right) Zt−1′=(Yt−1,p′,Xt−1,q′)

Wald检验量为：WT(τ)=Tβ^(τ)′Σ^(τ)−1β^(τ)τ(1−τ)\mathrm{W}_{T}(\tau)=T \frac{\hat{\beta}(\tau)^{\prime} \hat{\Sigma}(\tau)^{-1} \hat{\beta}(\tau)}{\tau(1-\tau)}WT(τ)=Tτ(1−τ)β^(τ)′Σ^(τ)−1β^(τ)

Sup-Wald检验量为：sup⁡WT=sup⁡i=1,⋯,nWT(τi)\sup W_{T}=\sup _{i=1, \cdots, n} W_{T\left(\tau_{i}\right)} supWT=i=1,⋯,nsupWT(τi)

Python在进行分位数回归时，方差默认为核估计

分位数方差核密度估计原理（基于Eviews帮助文件）

独立但不同分布假设下的参数渐近分布

当分位数密度函数独立但不同分布即与解释变量X相关时，T(β^(τ)−β(τ))\sqrt{T}(\hat{\beta}(\tau)-\beta(\tau))T(β^(τ)−β(τ))的渐近分布服从Huber sandwich形式：

T(β^(τ)−β(τ))∼N(0,τ(1−τ)H(τ)−1JH(τ)−1)\sqrt{T}\left(\hat{\beta}_{(\tau)}-\beta_{(\tau)}\right){\sim} N\left(0, \tau(1-\tau) H(\tau)^{-1} J H(\tau)^{-1}\right) T(β^(τ)−β(τ))∼N(0,τ(1−τ)H(τ)−1JH(τ)−1)
其中TTT为样本容量，τ\tauτ为分位点，β^(τ)\hat{\beta}_{(\tau)}β^(τ)为τ\tauτ分位点下回归系数估计量，NNN为正态分布，XiX_{i}Xi为解释变量矩阵；
J=lim⁡n→∞(∑iXiXi′T)=lim⁡n→∞(XXT)J=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{i} \frac{X_{i} X_{i}^{\prime}}{T}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{X X}{T}\right) J=n→∞lim(i∑TXiXi′)=n→∞lim(TXX)

H(τ)=lim⁡T→∞(∑iXiXi′fi(qi(τ))/T)H(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty}\left(\sum_{i} X_{i} X_{i}^{\prime} f_{i}\left(q_{i}(\tau)\right) / T\right) H(τ)=T→∞lim(i∑XiXi′fi(qi(τ))/T)

fi(qi(τ))f_{i}\left(q_{i}(\tau)\right)fi(qi(τ))是个体iii在τ\tauτ分位点上的条件密度函数。使用核密度进行估计：
H^(τ)=(1/T)∑i=1TcT−1K(u^(τ)t/cT)XiXi′\hat{H}(\tau)=(1 / T) \sum_{i=1}^{T} c_{T}^{-1} K\left(\hat{u}_{(\tau) t} / c_{T}\right) X_{i} X_{i}^{\prime} H^(τ)=(1/T)i=1∑TcT−1K(u^(τ)t/cT)XiXi′
其中 u^(τ)i\hat{\mathcal{u}}_{(\tau) i}u^(τ)i表示分位数回归的残差；cTc_TcT为带宽，估计原理见下文；表示κ\kappaκ核密度函数。EViews中可以选择的核密度函数有Epanechnikov核函数（默认）、均匀 (Uniform) 核函数、三角(Triangular)核函数、二权(Biweight)核函数、三权(Triweight)核函数、正态(Normal)核函数、余弦(Cosinus)核函数，具体函数形式见图。

cTc_TcT的估计原理：cT=κ(Φ−1(τ+hn)−Φ−1(τ−hn))c_{T}=\kappa\left(\Phi^{-1}\left(\tau+h_{n}\right)-\Phi^{-1}\left(\tau-h_{n}\right)\right)cT=κ(Φ−1(τ+hn)−Φ−1(τ−hn))

其中κ=min⁡(s,IQR/1.34)\kappa=\min (s, I Q R / 1.34)κ=min(s,IQR/1.34),IQRIQRIQR为四分位距，IQR=Q3−Q1\mathrm{I} Q \mathrm{R}=Q_{3}-Q_{1}IQR=Q3−Q1;sss为残差的标准差；hnh_nhn是Siddiqui带宽，
hn=T−1/3Zα2/3(1.5(φ(Φ−1(τ)))22(Φ−1(τ))2+1)1/3h_{n}=T^{-1 / 3} Z_{\alpha}^{2 / 3}\left(\frac{1.5\left(\varphi\left(\Phi^{-1}(\tau)\right)\right)^{2}}{2\left(\Phi^{-1}(\tau)\right)^{2}+1}\right)^{1 / 3} hn=T−1/3Zα2/3(2(Φ−1(τ))2+11.5(φ(Φ−1(τ)))2)1/3
Φ\PhiΦ表示正态分布的积累分布函数，Φ−1\Phi^{-1}Φ−1表示正态分布的逆函数，φ\varphiφ表示正态分布的密度函数，Zα=Φ−1(1−α/2)Z_{\alpha}=\Phi^{-1}(1-\alpha / 2)Zα=Φ−1(1−α/2)为选择的显著性水平α\alphaα对应的ZZZ值。

文中只列出一种方差的估计原理，更多内容详见Eviews 8帮助文件