求二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（中）

因为关于二维随机变量主题内容重要，难度大，例题多，最主要是积分区间的确定是难点，同时关联卷积概念，卷积公式容易，积分区间难以确定，因为书上的例题都没有详细解释积分区间如何确定，所以分成上中下三篇博客写。
接本主题（上）。

求二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（中）

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【例二】

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)={ 2−x−y,0<x<1,0<y<1, 0,othersf(x,y)={2−x−y,0<x<1,0<y<1,0,others

f(x,y)= \begin{cases} & \text{ } 2-x-y, 0
(1)求P{X>2Y}
(2)求Z=X+Y的密度函数fz(z)fz(z)f_{z}(z)

【解】

(1)求P{X>2Y}

一般的解法：P(f(X,Y))总是通过概率分布FZ(z)FZ(z)F_{Z}(z)得来的，而 FZ(z)FZ(z)F_{Z}(z)又是通过概率密度积分得出来的。概率密度 fZ(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dxfZ(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dxf_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx
要求P{X>2Y}，
设Z=X-2Y, 求P(X>2Y)就是求P(Z>0)=1−FZ(z⩽0)P(Z>0)=1−FZ(z⩽0)P(Z>0) = 1-F_{Z}(z\leqslant 0)
先求概率密度 fZ(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dxfZ(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dxf_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx

如上所述，如果按照先求概率密度的方法来算一个具体的特定的概率，求概率密度再求分布函数，会比较麻烦，对于一个特定的概率，可以通过画图图解法，看看积分区域在哪里，直接求dxdy的双重积分，也许对于特定概率来说更加方便。

对本题P(X>2Y) ，直接画一个x,y的坐标图，很容易看出来X>2Y的区域在哪里，再结合题目规定的区间 0< x< 1, 0< y< 1, 很容易算出，dxdy的双重积分。
在x,y的坐标系上，直接画一条Y=12XY=12XY=\frac{1}{2}X的直线，题目要求X>2Y，那么就是Y<\frac{1}{2}X，很容易看出来区域在哪里。

图中粉红色的三角形区域就是X>2Y的区间，其中x限制在0到1，y也限制在0到1
先对Y积分，Y的积分区间就是0到直线Y=X/2；后对X积分，X的积分区间就是常量：0到1
P(X>2Y)=∫∫X>2Yf(x,y)dxdyP(X>2Y)=∫∫X>2Yf(x,y)dxdyP(X>2Y)=\int \int _{X>2Y} f(x,y)dxdy
=∫10dx∫x20f(x,y)dy=∫01dx∫0x2f(x,y)dy=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{\frac{x}{2}}f(x,y)dy
=∫10dx∫x20(2−x−y)dy=∫10dx((2−x)y−y22)|2x0=∫01dx∫0x2(2−x−y)dy=∫01dx((2−x)y−y22)|02x=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{\frac{x}{2}}(2-x-y)dy = \int_{0}^{1}dx ((2-x)y-\frac{y^2}{2})|^\frac{2}{x}_0
=∫10(x−58x2)dx=(x22−58∗x33)|10=12−58∗13=724=∫01(x−58x2)dx=(x22−58∗x33)|01=12−58∗13=724 =\int_{0}^{1}(x-\frac{5}{8}x^2)dx = (\frac{x^2}{2}-\frac{5}{8}*\frac{x^3}{3})|^1_0=\frac{1}{2}-\frac{5}{8}*\frac{1}{3}=\frac{7}{24}

(2)求Z=X+Y的密度函数fz(z)fz(z)f_{z}(z)

画出x-z坐标，算出两条直线范围，
Zmin=X+Ymin =X+0
Zmax=X+Ymax =X+1
加上X的0到1区间范围，就构成积分区间。如图，积分区间就是红色三角块和蓝色三角块。

fZ(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dxfZ(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dxf_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx
因此，积分区间按照z轴从下到上分，

当z<0, 由于z不在Zmin到Zmax的范围内，所以 fZ(z)=0fZ(z)=0f_{Z}(z)=0

当0⩽z<10⩽z<10\leqslant z, 对x先积分，x的积分区间为红色区块，x的边界为0到Zmin直线，所以积分区间就是0到z
fZ(z)=∫z0(2−x−(z−x))dx=∫z0(2−z)dx=(2−z)x|z0=(2−z)∗zfZ(z)=∫0z(2−x−(z−x))dx=∫0z(2−z)dx=(2−z)x|0z=(2−z)∗zf_{Z}(z)=\int_{0}^{z}(2-x-(z-x))dx=\int_{0}^{z}(2-z)dx=(2-z)x|^z_0=(2-z)*z

当1⩽z<21⩽z<21\leqslant z, 对x先积分，x的积分区间为蓝色区块，x的边界为Zmax直线到1，所以积分区间就是z-1到1
fZ(z)=∫1z−1(2−x−(z−x))dx=∫1z−1(2−z)dx=(2−z)x|1z−1=(2−z)2fZ(z)=∫z−11(2−x−(z−x))dx=∫z−11(2−z)dx=(2−z)x|z−11=(2−z)2f_{Z}(z)=\int_{z-1}^{1}(2-x-(z-x))dx=\int_{z-1}^{1}(2-z)dx=(2-z)x|^1_{z-1}=(2-z)^2

所以，概率密度

fZ(z)=⎧⎩⎨ z(2−z),0⩽z<1 (2−z)2,1⩽z<2 0,elsefZ(z)={z(2−z),0⩽z<1(2−z)2,1⩽z<20,else

f_{Z}(z) = \begin{cases}& \text{ } z(2-z),0\leqslant z

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【例三】

假设一电路装有3个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为λ>0λ>0\lambda > 0的指数分布，当3个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的概率分布。

【解】
分布函数的物理含义：F(x)表示在x范围内（X⩽x)发生事件的概率。F(x)表示在x范围内（X⩽x)发生事件的概率。{\color{Red}{F(x)表示在x范围内（X\leqslant x)发生事件的概率。}}

指数分布函数的含义：F(t)=1−e−λt，F(t)表示x时间前发生故障的概率。F(t)=1−e−λt，F(t)表示x时间前发生故障的概率。{\color{Red}{F(t)=1-e^{-\lambda t}，F(t)表示x时间前发生故障的概率。}}

指数(概率密度)函数的意义：f(t)=e−λt，表示t时间内不发生故障的概率。f(t)=e−λt，表示t时间内不发生故障的概率。{\color{Red}{f(t)=e^{-\lambda t}，表示t时间内不发生故障的概率。}}

[分析]
关于指数分布，回顾一下博客离散型随机变量，二项分布，泊松分布，指数分布，几何分布（概统2.知识）
泊松分布是求某个时间t内，事件发生k次的概率
P{ X=k }=(λt)kk!∗e−λt(λt)kk!∗e−λt\frac{ ({\lambda t})^k} {k!}*e^{-\lambda t}
“所谓指数分布就是求事件发生的时间间隔”
P(X=0,N(t))=(λt)00!∗e−λt=e−λtP(X=0,N(t))=(λt)00!∗e−λt=e−λtP(X=0,N(t)) =\frac{(\lambda t)^0}{0!}*e^{-\lambda t}=e^{-\lambda t}
“在t时间内出现一个以上的概率”
P{X>0,N(t)}=1−e−λtP{X>0,N(t)}=1−e−λtP\{ X>0,N(t) \}=1-e^{-\lambda t}

指数分布，
概率密度函数为f(x)=λe−λxf(x)=λe−λx f(x)=\lambda e^{-\lambda x}
分布函数为F(x)=1−e−λxF(x)=1−e−λxF(x)=1-e^{-\lambda x}
简写 X∼E(λ)X∼E(λ)X \sim E(\lambda)
参数λλ\lambda为单位时间内事件发生的次数，即（电子元器件损坏的次数）。
所以电子元器件的平均寿命就是指数分布的期望值 EX=1λEX=1λEX=\frac{1}{\lambda}
假设某电子元器件的平均寿命为1000小时，那么EX=1000,λ=0.001EX=1000,λ=0.001EX=1000, \lambda=0.001,
某个电子元器件在1000小时内损坏的概率就是分布函数F(x<1000)
F(x<1000)=1−e−λx=1−1eλxF(x<1000)=1−e−λx=1−1eλxF(x
=1−1e0.001∗1000=1−1e=1−1e0.001∗1000=1−1e = 1 - \frac{1}{e^{0.001*1000}} = 1-\frac{1}{e}

分布函数的物理含义：F(x)表示在x范围内（X⩽x)发生事件的概率。F(x)表示在x范围内（X⩽x)发生事件的概率。{\color{Red}{F(x)表示在x范围内（X\leqslant x)发生事件的概率。}}

指数分布函数的含义：F(t)=1−e−λtF(t)=1−e−λtF(t)=1-e^{-\lambda t}，F(t)表示x时间前发生故障的概率。F(t)表示x时间前发生故障的概率。{\color{Red}{F(t)表示x时间前发生故障的概率。}}

指数(概率密度)函数的意义：f(t)=e−λtf(t)=e−λtf(t)=e^{-\lambda t}，表示t时间内不发生故障的概率。表示t时间内不发生故障的概率。{\color{Red}{表示t时间内不发生故障的概率。}}

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回到本题，
指数分布的分布函数是
分布函数为F(x)=1−e−λxF(x)=1−e−λxF(x)=1-e^{-\lambda x}
其意义是指在x时间内事件发生的概率，其等于t时间内出现一个以上的概率，等于P{X>0,N(t)}=1−e−λt其意义是指在x时间内事件发生的概率，其等于t时间内出现一个以上的概率，等于P{X>0,N(t)}=1−e−λt{\color{Red} {其意义是指在 x时间内事件发生的概率}}，其等于t 时间内出现一个以上的概率，等于P\{ X>0,N(t) \}=1-e^{-\lambda t}。

本题求系统正常工作的时间的概率分布，
已知一个元件正常工作的概率分布（t时间内发生故障的概率）F(t)=1−e−λtF(t)=1−e−λtF(t)=1-e^{-\lambda t}
系统正常工作，要求三个元件都不发生故障，F(t)是发生故障的概率，不发生故障的概率是1-F(t), 如果是三个F(t)相乘，等于三个同时发生故障的概率，一个都不发生故障，应该是三个(1-F(t))相乘，系统要求求三个都不发生故障的分布函数，就是1-三个（1-F(t))相乘。

所以
FT(t)=1−（1−F1(t)）∗（1−F2(t)）∗（1−F3(t)）FT(t)=1−（1−F1(t)）∗（1−F2(t)）∗（1−F3(t)）F_{T}(t) = 1-（1-F_{1}(t)）*（1-F_{2}(t)）*（1-F_{3}(t)）
=1−(e−λt)3=1−(e−λt)3 =1 - ( e^{-\lambda t}) ^3 (1)

如果是三个F_{T}(t)直接相乘，得到的结果是
FT1(t)=F1(t)∗F2(t)∗F3(t)FT1(t)=F1(t)∗F2(t)∗F3(t)F_{T1}(t) = F_{1}(t)*F_{2}(t)*F_{3}(t)
=(1−e−λt)3=(1−e−λt)3 = ( 1-e^{-\lambda t}) ^3
=1−3e−λt+3e−2λt−e3λt1−3e−λt+3e−2λt−e3λt1-3e^{-\lambda t}+3e^{-2\lambda t} -e^{3\lambda t} = 1−3e−λt(1−e−λt)−e3λt1−3e−λt(1−e−λt)−e3λt1-3e^{-\lambda t}(1-e^{-\lambda t})-e^{3\lambda t} (2)
其中，(1−e−λt)(1−e−λt)(1-e^{-\lambda t}) 肯定是大于0 的，所以(2)式的整体值小于(1)式，
FT1(t)FT1(t)F_{T1}(t) 小于 FT(t)FT(t)F_{T}(t) ，而F(t)的含义是在t时间前系统发生故障的概率，而实际上要求三个元件同时不发生故障系统才算不发生故障，所以F(t)应该取大才对。

还有一个公式
在书上P82(2).3P82(2).3P_{82}(2).3：
设X,Y相互独立，分布函数分别为F_{X}(x)和F_{Y}(y)，M=max(X.Y), N=min(X,Y)，则
FM(z)=FX(z)∗FY(z),FN(z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)]FM(z)=FX(z)∗FY(z),FN(z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)]F_{M}(z)=F_{X}(z)*F_{Y}(z) , F_{N}(z)=1-[1-F_{X}(z)][1-F_{Y}(z)]

本题中 T=min(X1, X2, X3)，故 G(t)=1−[1−F(t)]3G(t)=1−[1−F(t)]3G(t)=1-[1-F(t)]^3

【例四】

设随机变量(X,Y)在矩形区域G=((x,y)|0⩽x⩽2,0⩽y⩽1)G=((x,y)|0⩽x⩽2,0⩽y⩽1)G=((x,y)|0\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant y\leqslant 1) 上服从均匀分布，试求Z=XY的密度函数。

【解】

需要理解的是：二维随机变量均匀分布的概率密度函数=1分布区域的面积二维随机变量均匀分布的概率密度函数=1分布区域的面积{\color{Red} {二维随机变量均匀分布的概率密度函数 = \frac{1}{分布区域的面积} }}

区域G的面积=x的长度乘以y的宽度=(2-0) x (1-0)=2*1=2

X和Y的均匀分布的概率密度函数 = 1分布区域的面积=121分布区域的面积=12\frac{1}{分布区域的面积}=\frac{1}{2}

区域G的面积=x的长度y的宽度=(2-0)(1-0)
均匀分布的密度函数 = 1区域G的面积=12∗1=121区域G的面积=12∗1=12\frac{1}{区域G的面积} = \frac{1}{2*1} = \frac{1}{2}

对于 Z=X*Y的密度函数与Z=X+Y的密度函数有所不同。
见P82.(2)

Z=X+Y型的密度函数为，fZ(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dxZ=X+Y型的密度函数为，fZ(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dx{\color{Red} {Z=X+Y型的密度函数为，f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx}}

Z=X/Y型的密度函数为，fY/X(z)=∫∞−∞|x|f(x,zx)dxZ=X/Y型的密度函数为，fY/X(z)=∫−∞∞|x|f(x,zx)dx{\color{Red} {Z=X/Y型的密度函数为，f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x,zx)dx}}

Z=XY型的密度函数为，fYX(z)=∫∞−∞1|x|f(x,zx)dxZ=XY型的密度函数为，fYX(z)=∫−∞∞1|x|f(x,zx)dx{\color{Red} {Z=XY型的密度函数为，f_{YX}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx}}

对于本题，要求Z=XY的密度函数
Z=XY型的密度函数为，fYX(z)=∫∞−∞1|x|f(x,zx)dxZ=XY型的密度函数为，fYX(z)=∫−∞∞1|x|f(x,zx)dxZ=XY型的密度函数为，f_{YX}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx

如图所示，
Zmax = X*Ymax = X*1 =X, ==> 直线边界：x=z
Zmin = X*Ymin = X*0 =0 , ==> 直线边界：z=0
X的左右边界为 0 到 2
所以积分区域就是Zmax, Zmin和X的左右边界围成的区块

对x进行积分，x的左边界为Zmax直线，即x=z，右边界为x=2垂直直线。
当 0⩽z<2时，fXY(z)=∫∞−∞1|x|f(x,zx)dx=∫2z1|x|∗12dx0⩽z<2时，fXY(z)=∫−∞∞1|x|f(x,zx)dx=∫z21|x|∗12dx0\leqslant z
博客积分公式小节
基本积分表中有：∫dxx=ln|x|+C∫dxx=ln|x|+C\int \frac{dx}{x}=ln|x|+C
得，

fXY(z)={12(ln2−lnz)0,0⩽z<2,elsefXY(z)={12(ln2−lnz),0⩽z<20,else

f_{XY}(z)= \left\{\begin{matrix}&\frac{1}{2}(ln2-lnz) & ,0\leqslant z

参考书目：

张天德，叶宏《星火燎原·概率论与数理统计辅导及习题精解》（浙大·第4版）第三章