关于定义域有界性的三种判断

@(微积分)

给定一个函数，讨论其在定义域上是否有界，有三种方法。不敢说常见，提出来思考。

理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。
计算法：切分
- (a,b)内连续
- limx→a+f(x)存在\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)存在
- limx→b−f(x)存在\lim_{x\rightarrow b^-}f(x)存在
  则f(x)在定义域[a,b]内有界。
运算规则判定：在边界极限不存在时
- 有界函数 ±\pm 有界函数 = 有界函数（有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）
- 有界 x 有界 = 有界

这是三种看似没什么用的结论，但是用起来才能明白它的效用。

举个例子：

讨论函数f(x)=(x3−1)sinx(x2+1)|x|f(x) = \frac{(x^3-1)sinx}{(x^2+1)|x|}在其定义域上的有界性。

分析：这种看着也挺简单的，对吧。

从这个函数中可以看出，定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)(-\infty,0) \cup(0,+\infty) 。

分成两段，那么问题将转化为四个极限的求解。

limx→−∞f(x)\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)
limx→+∞f(x)\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)
limx→0+f(x)\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)
limx→0−f(x)\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)

如果四个极限存在，则可说明f(x)有界。

分别计算：

limx→−∞f(x)=limx→−∞(x3−1)sinx(x2+1)|x|=limx→−∞(x3−1)(x2+1)(−x)⋅sinx

\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) = \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{(x^3-1)sinx}{(x^2+1)|x|}\\ = \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{(x^3-1)}{(x^2+1)(-x)}\cdot sinx

大概可以一眼看出是两个有界函数之积了。因此极限存在。
同理可得：

limx→+∞f(x)=limx→+∞(x3−1)sinx(x2+1)|x|=limx→−∞(x3−1)(x2+1)x⋅sinx

\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) = \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x^3-1)sinx}{(x^2+1)|x|}\\ = \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{(x^3-1)}{(x^2+1)x}\cdot sinx

也是极限存在。

limx→0−f(x)=limx→0−(x3−1)sinx(x2+1)|x|=limx→0−(x3−1)(x2+1)⋅sinx−x=1

\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x) = \lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{(x^3-1)sinx}{(x^2+1)|x|}\\ = \lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{(x^3-1)}{(x^2+1)}\cdot \frac{sinx}{-x} = 1

limx→0+f(x)=limx→0+(x3−1)sinx(x2+1)|x|=limx→0+(x3−1)(x2+1)⋅sinxx=−1

\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x) = \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{(x^3-1)sinx}{(x^2+1)|x|}\\ = \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{(x^3-1)}{(x^2+1)}\cdot \frac{sinx}{x} = -1

当变元趋近某一个值时，代入不会出现分母为0，不必犹豫，能代入则代入。

这样，四个极限都存在，就可以说明函数在定义域内有界了。

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