MATLAB非线性最小二乘lsqnonlin

1.函数介绍
lsqnonlin 解决非线性最小二乘(非线性数据拟合)问题。
语法：

x = lsqnonlin(fun,x0)
x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub) #lb ≤ x ≤ ub
x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)
x = lsqnonlin(problem)
[x,resnorm] = lsqnonlin(___)
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(___)
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] = lsqnonlin(___)

2.部分参数

options — Optimization options

MaxFunctionEvaluations：最大函数求值次数，默认值是100*numberOfVariables。
MaxIterations：最大迭代次数，默认值是400次。
resnorm — Squared norm of the residual
Squared norm of the residual, returned as a nonnegative real. resnorm is the squared 2-norm of the residual at x: sum(fun(x).^2).
返回残差平方。
residual — Value of objective function at solution
目标函数在解处的值，作为数组返回。通常，residual = fun(x)。

3.lsqnonlin与lsqcurvefit区别：

lsqnonlin: Solve nonlinear least-squares (nonlinear data-fitting) problem（非线性最小二乘）；
lsqcurvefit: Solve nonlinear curve-fitting (data-fitting) problems in least-squares sense（非线性曲线拟合）。

相同点：两者默认算法都是：trust-region-reflective，并且都可以修改为：levenberg-marquardt algorithm；
如：options = optimoptions(@lsqnonlin,'Algorithm','trust-region-reflective');可以修改算法为levenberg-marquardt：

options.Algorithm = 'levenberg-marquardt';
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options);

lsqcurvefit 函数使用与 lsqnonlin 相同的算法。lsqcurvefit 只是为数据拟合问题提供一个方便的接口。

不同点：
（1）lsqcurvefit 的使用形式要更简单一点：The lsqcurvefit function uses the same algorithm as lsqnonlin. lsqcurvefit simply provides a convenient interface for data-fitting problems
（2）lsqnonlin函数定义为差值函数，如：fun = @(r)exp(-d*r)-y;
lsqcurvefit 函数定义为目标函数，如：fun = @(x,xdata)x(1)*exp(x(2)*xdata);

4.使用方法
方法一：创建函数文件和求解文件

function F = myfun(x)
F = ...            % Compute function values at x

x = lsqnonlin(@myfun,x0)

方法二：不需要单独函数文件

x = lsqnonlin(@(x)sin(x.*x),x0);

注意：

5.实例

t = linspace(0.1, 300, 1000)';
y = 300*exp(-t/5) + 10;
y_noise = y + 20*randn(1000, 1);
% funl = @(p,x,y_noise) p(1)*exp(-x/p(2)) + p(3)- y_noise;
fun = @(x)x(1)*exp(-t/x(2))+x(3) - y_noise;
x0 = [100, 2 1];
options.Algorithm = 'levenberg-marquardt';
[x,resnorm,residual] = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options)plot(t,y_noise,'ro',t,fun(x)+y_noise,'b-')
xlabel('t')
legend('Normal density','Fitted function')

结果：

6.组合多个目标函数的lsqnonlin
https://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/285211-how-to-combine-multiple-objective-functions-for-lsqnonlin

function [ rssOutput ] = objFunctions( params,X,Y) a = params(1); % parameter 1b = params(2); % parameter 2rss1 = a.*exp(b.*X) - Y; % objective function 1 rss2 = a.*sin(b.*X) - Y; % objective function 2 rssOutput = [rss1; rss2]; end
x0 = [1,1]'; % initial value of a and b
x=lsqnonlin(@objFunctions,x0,[],[],[],X,Y);

参考资料：
lsqnonlin 函数官网：https://www.mathworks.com/help/optim/ug/lsqnonlin.html
MATLAB文档 lsqnonlin 函数：https://blog.csdn.net/qq_34122861/article/details/103514923

MATLAB 非线性最小二乘拟合 lsqnonline 和 lsqcurvefit（总结很好）：https://www.cnblogs.com/pupilLZT/p/13379691.html?ivk_sa=1024320u

MATLAB帮助文档非常有用！

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