§7.3 n维欧氏空间中的紧致子集
§7.3 n维欧氏空间中的紧致子集
定义7.3.1 设(X,ρ)是一个度量空间,AX.如果存在实数M>0使得ρ(x,y)<M对于所有x,y∈A成立,则称A是X的一个有界子集;如果X本身是一个有界子集,则称度量空间(X,ρ)是一个有界度量空间.
定理7.3.1 紧致度量空间是有界的.
证明 设(X,ρ)是一个紧致度量空间.由球形邻域构成的集族{B(x,1)|x∈X}是X的一个开覆盖,它有一个有限子覆盖,设为{B(x1,1),B(x2,1),…,B(xn,1)}.令
M=rnax{ρ(xi,xj)|1≤i,j≤n}十2
如果x,y∈X,则存在i,j,1≤i,j≤n,使得x∈B(xi,l)和y∈B(xj,l).于是
ρ(x,y)<ρ(x,xi)+ρ(xi,xj)十ρ(xj,y)<M
因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集.特别n维欧氏空间的每一个紧致子集都是有界的.
下面作为引理给出单位闭区间[0,1]是一个紧致空间的证明.尽管读者可能早已熟知这个结论.
引理7.3.2 单位闭区间[0,1]是一个紧致空间.
证明 设A是[0,1]的一个开覆盖.令
P={x∈[0,l]|A有一个有限子族覆盖[0,x]}
它是[0,1]的一个子集.对于集合P,我们依次证明,
(l)P.因为显然0∈P;
(2)P是一个开集.
设x∈P.则A有一个有限子族,设为{ },覆盖[0,x].当x=1时,易见P=[0,l],它是一个开集.因此x是P的一个内点.下设x<1.这时对于某一个i0,1≤i0≤n,有x∈
.由于
是[0,1]中的一个开集,所以存在实数ε>0使得[x,x+ε)
.于是[0,x+ε)
..这蕴涵[0,x+ε)
P.由于[0,x+ε)是[0,1]中的一个包含x的开集,所以x是P的一个内点.以上证明了集合P中的任何一个点都是P的内点,所以它是一个开集.
(3)P是一个闭集.
设x∈=[0,1]-P.根据集合P的定义可见,[x,1]
.另外根据(1)可见.0<x.选取选取A∈A使得x∈A.由于A是一个开集,所以存在实数ε>0使得(x-ε,x]
A.假如(x-ε,x]∩P≠
,设z∈(x-ε,x]∩P.则A有一个有限子族A1覆盖[0,z],因此A的有限子族A1∪{A}覆盖[0,x],这与x
P矛盾.所以(x-ε,x]∩P=
,即(x-ε,x]
,从而(x-ε,1]
,因此x是
的一个内点.这证明
是一个开集,即P是一个闭集.
根据上述三条,P是[0,l]中的一个既开又闭的非空子集.由于[0,1]是一个连通空间,所以P=[0,1],特别,1∈P.这也就是说A有一个有限子族覆盖[0,1].以上证明了[0,1]的任何一个开覆盖有有限子覆盖,故[0,1]是一个紧致空间.
任何一个闭区间[a,b](a<b),由于它和单位闭区间[0,1]同胚,所以是紧致的.并且作为紧致空间的积空间,可见n维欧氏空间中任何一个闭方体
(a<b)也是紧致空间.
定理7.3.3 设A是n维欧氏空间中的一个子集.则A是一个紧致子集当且仅当A是一个有界闭集.
证明 设ρ是n维欧氏空间的通常度量.
“”:如果A
是一个紧致子集,则根据定理7.3.1,它是有界的;由于
是一个Hausdorff空间,根据推论7.2.2,它是一个闭集.
“”:设A
是一个有界闭集.如果A=
,则A是紧致的.下设A
.于是存在实数M>0使得对于任何x,y∈A有ρ(x,y)<M.任意选取x0∈A,并且令N=M十ρ(0,x0),其中0=(0,0,…,0)∈
.容易验证(根据三角不等式)A
.因此A作为紧致空间
中的一个闭子集必定是紧致的.
定理7.3.4 设X是一个非空的紧致空间,f:X→R是一个连续映射.则存在x0,x1∈X使得对于任意x∈X有
f(x0)≤f(x)≤f(x1)
换言之,从非空的紧致空间到实数空间R的任何一个连续映射都可以取到最大点与最小点.
证明 由于X紧致,故根据定理7.1.4可见f(X)是实数空间R中的一个紧致子集.由于R是一个Hausdorff空间,所以f(X)是一个闭集.设m和M分别为集合f(X)的下,上确界,则m,M∈f(X).因此存在x0,x1∈X使得f(x0)=m和f(x1)=M.根据上,下确界的定义立即可见,对于任何x∈X有f(x0)≤f(x)≤f(x1).
此外,由于m维单位球面是一个有界闭集,所以是紧致的,n维欧氏空间
不是紧致的,而紧致性又是一个拓扑不变性质,所以:
定理7.3.5 设m,n∈Z+.则m维单位球面与n维欧氏空间
不同胚.
这是通过拓扑不变性质区分不同胚的拓扑空间的又一个例子.
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