等价

设 RRR 是某个集合 XXX 上的一个二元关系。若 RRR 满足以下条件：

自反性：∀x∈X,xRx\forall x \in X,\ xRx∀x∈X, xRx
对称性：∀x,y∈X,xRy⇒yRx\forall x,y \in X,\ xRy \Rightarrow yRx∀x,y∈X, xRy⇒yRx
传递性：∀x,y,z∈X,(xRy∧yRz)⇒xRz\forall x,y,z \in X,\ (xRy\ \wedge\ yRz)\ \Rightarrow\ xRz∀x,y,z∈X, (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz

则称 RRR 是一个定义在 XXX 上的等价关系。

例如：

平面几何中的三角形间的相似关系、全等关系都是等价关系；
平面几何中的平行关系是等价关系；

又例如：

设 X={1,4,7}X=\{1,4,7\}X={1,4,7}，定义 XXX 上的关系 RRR，R={(a,b)∣a,b∈A∧a≡bmod3}R=\{(a,b)|a,b\in A \wedge a \equiv b\ mod\ 3\}R={(a,b)∣a,b∈A∧a≡b mod 3}，其中 a≡bmod3a \equiv b\ mod\ 3a≡b mod 3 表示 aaa 与 bbb 模 3 同余，即 aaa 除以 3 的余数和 bbb 除以 3 的余数相等。不难验证 RRR 是 XXX 上的等价关系。

偏序

设 RRR 是某个集合 XXX 上的一个二元关系。若 RRR 满足以下条件：

自反性：∀x∈X,xRx\forall x \in X,\ xRx∀x∈X, xRx
反对称性：∀x,y∈X\forall x,y \in X∀x,y∈X，若xRy\ xRy xRy 且 yRxyRxyRx，则 x=yx = yx=y
传递性：∀x,y,z∈X,(xRy∧yRz)⇒xRz\forall x,y,z \in X,\ (xRy\ \wedge\ yRz)\ \Rightarrow\ xRz∀x,y,z∈X, (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz

则称 RRR 是一个定义在 XXX 上的偏序关系。

举例：

实数集上的小于等于关系是一个偏序关系；
设 SSS 是集合，P(S)P(S)P(S)是 SSS 的所有子集构成的集合，定义 P(S)P(S)P(S) 中两个元素 A≤BA≤BA≤B 当且仅当 AAA 是 BBB 的子集，即 AAA 包含于 BBB，则 P(S)P(S)P(S) 在这个关系下成为偏序集；
设 NNN 是正整数集，定义 m≤nm≤nm≤n 当且仅当 mmm 能整除 nnn，不难验证这是一个偏序关系；

如果要进一步划分，上面定义表示的是非严格偏序（自反偏序, ≤\leq≤），更严格一种的偏序关系叫做严格偏序（反自反偏序），设 <<< 是某个集合 XXX 上的一个二元关系。若 <<< 满足以下条件：

反自反性：∀x∈X,x≮x\forall x \in X,\ x \nless x∀x∈X, x≮x
非对称性：∀x,y∈X,x<y⇒y≮x\forall x,y \in X,\ x<y\ \Rightarrow\ y \nless x∀x,y∈X, x<y ⇒ y≮x
传递性：∀x,y,z∈X,(xRy∧yRz)⇒xRz\forall x,y,z \in X,\ (xRy\ \wedge\ yRz)\ \Rightarrow\ xRz∀x,y,z∈X, (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz

严格偏序与有向无环图（DAGDAGDAG）有直接的对应关系。一个集合上的严格偏序的关系图就是一个有向无环图。

全序

设 RRR 是集合 XXX 上的偏序关系，如果对于每个 x,y∈Xx,y \in Xx,y∈X，必有 xRyxRyxRy 或 yRxyRxyRx，则称 RRR 是集合 XXX 上的全序关系。

一般的说偏序集合的两个元素 xxx 和 yyy 可以处于四个相互排斥的关联中任何一个：要么 x<yx<yx<y，要么 x=yx=yx=y，要么 x>yx>yx>y，要么 xxx 和 yyy 是“不可比较”的（三个都不是）。全序集合是用规则排除第四种可能的集合：所有元素对都是可比较的，并且声称三分法成立。

直观上，偏序指集合上只有部分元素之间可比较，而全序是指全体元素均可比较。

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