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洛谷 P4229
UOJ #346
LOJ #2331

Solution

orz 讲课现场切掉此题的神仙 Lagoon
可以发现，如果一个限制为 max ⁡ i = l r h i = x \max_{i=l}^rh_i=x maxi=lrhi=x ，另一个限制为 max ⁡ i = a b h i = y \max_{i=a}^bh_i=y maxi=abhi=y 且 y < x y<x y<x
那么对于任意的 k ∈ [ l , r ] ⋂ [ a , b ] k\in[l,r]\bigcap[a,b] k∈[l,r]⋂[a,b] ， h k h_k hk 对 max ⁡ i = l r h i \max_{i=l}^rh_i maxi=lrhi 没有影响
所以如果每个限制的 x x x 互不相同，我们可以把区间端点离散化之后，按照 x x x 从小到大做
具体地，如果一个限制为 max ⁡ i = l r h i = x \max_{i=l}^rh_i=x maxi=lrhi=x 且 [ l , r ] [l,r] [l,r] 内有 k k k 个位置没有 x x x 严格更小的限制覆盖
那么答案乘上 x k − ( x − 1 ) k x^k-(x-1)^k xk−(x−1)k
最后乘上不被任何限制区间覆盖的位置的贡献
O ( m 2 ) O(m^2) O(m2)
而如果 x x x 有相同的，那么把 x x x 相同的放在一起做
还是按 x x x 从小往大做，设满足 max ⁡ i = l r h i = x \max_{i=l}^rh_i=x maxi=lrhi=x 的限制有 s s s 个
那么对这 s s s 个区间端点再离散化一次，为了保证接下去 DP 的复杂度
注意到区间端点离散化之后，整个序列被分割为 O ( s ) O(s) O(s) 段，且每一段一定完全包含或完全不包含于任意一个满足 max ⁡ i = l r h i = x \max_{i=l}^rh_i=x maxi=lrhi=x 的限制区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]
设 c n t i cnt_i cnti 表示第 i i i 段中有多少个位置没被 x x x 严格更小的限制覆盖
DP 状态： f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 表示处理到前 i i i 段，上一个恰好填 x x x 的位置在第 j j j 段，且所有右端点在前 i i i 段内的限制区间都至少包含一个恰好填 x x x 的位置的方案数（被覆盖的位置不能填数，其他位置只能填 [ 1 , x ] [1,x] [1,x] 内的数）
f [ 0 ] [ 0 ] = 1 f[0][0]=1 f[0][0]=1
f [ i + 1 ] [ i + 1 ] + = f [ i ] [ j ] × ( x c n t i + 1 − ( x − 1 ) c n t i + 1 ) f[i+1][i+1]+=f[i][j]\times(x^{cnt_{i+1}}-(x-1)^{cnt_{i+1}}) f[i+1][i+1]+=f[i][j]×(xcnti+1−(x−1)cnti+1)
f [ i + 1 ] [ j ] + = f [ i ] [ j ] × ( x − 1 ) c n t i + 1 f[i+1][j]+=f[i][j]\times(x-1)^{cnt_{i+1}} f[i+1][j]+=f[i][j]×(x−1)cnti+1
注意如果以第 i + 1 i+1 i+1 段为结尾的最短区间左端点落到了第 j j j 段之后，那么第三种转移不能进行
O ( s 2 ) O(s^2) O(s2)
最后的复杂度 O ( m 2 ) O(m^2) O(m2)

Code

#include <bits/stdc++.h>template <class T>
inline void read(T &res)
{res = 0; bool bo = 0; char c;while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);if (bo) res = ~res + 1;
}template <class T>
inline T Max(const T &a, const T &b) {return a > b ? a : b;}const int N = 505, M = 1010, ZZQ = 998244353;int qpow(int a, int b)
{int res = 1;while (b){if (b & 1) res = 1ll * res * a % ZZQ;a = 1ll * a * a % ZZQ;b >>= 1;}return res;
}int n, q, A, tot, real[M], Tot, Real[M], f[M][M], s[M], mxr[M], ans;
bool vis[M], siv[M];struct node
{int l, r, m;
} a[N];inline bool comp(node a, node b)
{return a.m < b.m;
}void solve(int le, int ri, int num)
{Real[1] = 1; Real[Tot = 2] = tot;for (int i = le; i <= ri; i++)Real[++Tot] = a[i].l, Real[++Tot] = a[i].r + 1;std::sort(Real + 1, Real + Tot + 1);Tot = std::unique(Real + 1, Real + Tot + 1) - Real - 1;for (int i = 1; i < tot; i++) siv[i] = 0;for (int i = le; i <= ri; i++)for (int j = a[i].l; j <= a[i].r; j++)siv[j] = 1;for (int i = 1; i < tot; i++)s[i] = s[i - 1] + (vis[i] || !siv[i] ? 0 : real[i + 1] - real[i]),vis[i] = vis[i] || siv[i];f[0][0] = 1;for (int i = 1; i < Tot; i++) mxr[i] = 0;for (int i = le; i <= ri; i++){int r = std::lower_bound(Real + 1, Real + Tot + 1, a[i].r + 1) - Real - 1,l = std::lower_bound(Real + 1, Real + Tot + 1, a[i].l) - Real;mxr[r] = Max(mxr[r], l);}for (int i = 1; i < Tot; i++){int c0 = qpow(num - 1, s[Real[i + 1] - 1] - s[Real[i] - 1]),c1 = (qpow(num, s[Real[i + 1] - 1] - s[Real[i] - 1]) - c0 + ZZQ) % ZZQ;for (int j = 0; j <= i; j++) f[i][j] = 0;for (int j = 0; j < i; j++)f[i][j] = (1ll * c0 * f[i - 1][j] + f[i][j]) % ZZQ,f[i][i] = (1ll * c1 * f[i - 1][j] + f[i][i]) % ZZQ;for (int j = 0; j < mxr[i]; j++) f[i][j] = 0;}int res = 0;for (int i = mxr[Tot - 1]; i < Tot; i++)res = (res + f[Tot - 1][i]) % ZZQ;ans = 1ll * ans * res % ZZQ;
}void work()
{ans = 1;memset(vis, 0, sizeof(vis));read(n); read(q); read(A);for (int i = 1; i <= q; i++)read(a[i].l), read(a[i].r), read(a[i].m);std::sort(a + 1, a + q + 1, comp);real[1] = 1; real[tot = 2] = n + 1;for (int i = 1; i <= q; i++)real[++tot] = a[i].l, real[++tot] = a[i].r + 1;std::sort(real + 1, real + tot + 1);tot = std::unique(real + 1, real + tot + 1) - real - 1;for (int i = 1; i <= q;){int nxt = i;while (nxt <= q && a[i].m == a[nxt].m){a[nxt].l = std::lower_bound(real + 1, real + tot + 1, a[nxt].l) - real;a[nxt].r = std::lower_bound(real + 1, real + tot + 1,a[nxt].r + 1) - real - 1;nxt++;}solve(i, nxt - 1, a[i].m);i = nxt;}int res = 0;for (int i = 1; i < tot; i++) if (!vis[i]) res += real[i + 1] - real[i];printf("%d\n", 1ll * ans * qpow(A, res) % ZZQ);
}int main()
{int T; read(T);while (T--) work();return 0;
}

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